5⁵ या संख्येस 4 ने भागल्यास बाकी किती रहाते?
योग्य उत्तर पर्याय २ (B) (1) आहे.
महत्त्वाचे मुद्दे (Key Points):
• मूळ संकल्पना: हा प्रश्न बाकी प्रमेय (Remainder Theorem) किंवा मॉड्युलर अरिथमॅटिक वापरून सर्वात वेगाने सोडवता येतो. नियम: (a^n) ±od d = (a ±od d)^n ±od d.
• गणन (पद्धत १: सूत्र वापरून):
• आपल्याला 5⁵ ला ४ ने भागल्यावर उरणारी बाकी शोधायची आहे.
• प्रथम पाया (५) ला ४ ने भागून बाकी काढा.
• 5 ±od 4 = 1 (५ ला ४ ने भागले असता १ उरतो).
• आता ही १ बाकी घातांकात ठेवा:
• 1⁵ = 1
• म्हणून, अंतिम बाकी १ आहे.
• गणन (पद्धत २: थेट गुणाकार):
• 5² = 25 ⇒ २५ ला ४ ने भागल्यास बाकी १ उरते (4 × 6 = 24).
• 5⁵ = 3125 ⇒ ३१२५ ला ४ ने भागल्यास बाकी १ उरते (4 × 781 = 3124).
• निष्कर्ष: जेव्हा कोणत्याही (x+1)^n स्वरूपाच्या संख्येला x ने भागले जाते, तेव्हा घात (n) कितीही असला तरी नेहमी १ बाकी उरते. येथे, (4+1)⁵ ला ४ ने भागल्यास बाकी १ उरेल.
• महत्त्वाची टीप: नियम: (x+1)^n ला x ने भागल्यास घात काहीही असला तरी नेहमी १ बाकी उरते.
The correct answer is Option B (1).
Key Points:
• Core Concept: This problem is best solved using the Remainder Theorem (Modular Arithmetic), specifically the property: (a^n) ±od d = (a ±od d)^n ±od d.
• Calculation (Method 1: Modular Arithmetic):
• We need to find 5⁵ ±od 4.
• First, find the remainder when the base (5) is divided by 4.
• 5 ±od 4 = 1
• Now, substitute this back into the power:
• 1⁵ = 1
• Therefore, the remainder is 1.
• Calculation (Method 2: Direct Calculation - useful for small powers):
• 5¹ = 5 ⇒ Remainder when divided by 4 is 1.
• 5² = 25 ⇒ 25 / 4 = 6 with remainder 1.
• 5³ = 125 ⇒ 125 / 4 = 31 with remainder 1.
• 5⁵ = 3125 ⇒ 3125 / 4 = 781 with remainder 1.
• Conclusion: Whenever a number (x+1)^n is divided by x, the remainder is always 1 for any positive integer power n. Here, (4+1)⁵ divided by 4 leaves a remainder of 1.
• Key Takeaway: Rule: (x+1)^n divided by x always leaves a remainder of 1.
या प्रश्नाचा समावेश असलेल्या 'पदावली, सरलीकरण (VBODMAS), वर्ग-वर्गमूळ, घन-घनमूळ व घातांक (Simplification & Indices)' या घटकावरील संपूर्ण सिद्धांत, महत्त्वाचे नियम व ट्रिक्स वाचा:
या परीक्षेचे सर्व ५,०००+ प्रश्न व मागील पेपर्स ॲपमध्ये मोफत सोडवा!
घटकनिहाय सराव टेस्ट्स, ऑल-महाराष्ट्र रँक आणि संपूर्ण स्पष्टीकरणासह सराव.
जर रु.2 व रु. 5 यांची नाणी 3:2 या प्रमाणात घेतल्यास 320 रुपय...
जर एक वर्तुळ ABCD या आयताच्या सर्व शिरोबिंदुमधुन जात असेल. आ...
हा प्रश्न मित्रांसोबत शेअर करा
WhatsApp किंवा Telegram वर चर्चा करा किंवा लिंक कॉपी करा
📑 MPSC Group B Mains 2025 - Paper 2 (सामान्य क्षमता चाचणी) इतर प्रश्न (More from this Paper)
संपूर्ण पेपर ➔घरगुती उपभोगाला चालना देण्यासाठी प्राप्तिकरात घट करणे हे _______ याचे उदाहरण आहे.
महाराष्ट्र मानवी विकास अहवाल 2012 अनुसार मानवी विकासाच्या खालीलपैकी कोणत्या निर्देशांकांमध्ये जिल्ह्यांतर्गत राज्यभर असमानता कायम आहे?
(a) उत्पन्न (b) अर्भक जीवन शक्यता (c) एकूण साक्षरता (d) स्थूल पटनोंदणी प्रमाण
लोकसंख्या संक्रमण सिद्धांताच्या दुसऱ्या टप्प्यात मृत्यू दर कमी आणि _______ दिसून येतो.
व्यापार चक्रातील आकुंचन या कालावधीत अर्थव्यवस्थेत खालीलपैकी कोणते बदल होतात?
(a) वस्तू व सेवांच्या किंमतीत वाढ
(b) वास्तविक GDP मधील घट
(c) रोजगारात घट
(d) गुंतवणुकीत घट
शाश्वत विकास उद्दिष्टे (SDG) भारत निर्देशांक 2023-24 संदर्भात पुढील विधाने विचारात घ्या :
(a) या निर्देशांकाद्वारे सर्व राज्ये आणि केंद्रशासित प्रदेशांची शाश्वत विकास उद्दिष्टांच्या (SDGs) संदर्भातील प्रगती 113 निर्देशांकांच्या आधारे मोजली जाते, जी राष्ट्रीय निर्देशक ढाचा (NIF) शी सुसंगत आहे.
(b) प्रत्येक राज्य व केंद्रशासित प्रदेशासाठी सर्व 17 शाश्वत विकास उद्दिष्टांवर (SDGs) उद्दिष्टनिहाय गुण गणना केली जाते.
(c) एखाद्या राज्य किंवा केंद्रशासित प्रदेशाचा एकत्रित गुण क्रमांक (composite score) हा निर्देशांकात समाविष्ट असलेल्या SDGs वरील उद्दिष्टनिहाय गुणांचे एकत्रीकरण करून निश्चित केला जातो.
(d) या निर्देशांकात 0 गुण मिळणे म्हणजे त्या राज्याने किंवा केंद्रशासित प्रदेशाने मूल्यमापनातील SDG उद्दिष्टे पूर्णपणे साध्य केली आहेत असे दर्शविते.
सहकारी विकास निधी (CDF) बद्दल योग्य विधान/ने कोणती आहेत?
(a) त्याची स्थापना नाबार्डने केली आहे.
(b) त्याची स्थापना 1993 मध्ये केली गेली.
(c) सहकारी पतसंस्थांचे मजबुतीकरण हे या योजनेचे एक उद्दिष्ट आहे.
📚 अंकगणित व संख्यात्मक अभियोग्यता (Quantitative Aptitude & Mathematics) इतर मागील वर्षांचे प्रश्न (Related PYQs)
सर्व पहा ➔घरगुती उपभोगाला चालना देण्यासाठी प्राप्तिकरात घट करणे हे _______ याचे उदाहरण आहे.
महाराष्ट्र मानवी विकास अहवाल 2012 अनुसार मानवी विकासाच्या खालीलपैकी कोणत्या निर्देशांकांमध्ये जिल्ह्यांतर्गत राज्यभर असमानता कायम आहे?
(a) उत्पन्न (b) अर्भक जीवन शक्यता (c) एकूण साक्षरता (d) स्थूल पटनोंदणी प्रमाण
लोकसंख्या संक्रमण सिद्धांताच्या दुसऱ्या टप्प्यात मृत्यू दर कमी आणि _______ दिसून येतो.
व्यापार चक्रातील आकुंचन या कालावधीत अर्थव्यवस्थेत खालीलपैकी कोणते बदल होतात?
(a) वस्तू व सेवांच्या किंमतीत वाढ
(b) वास्तविक GDP मधील घट
(c) रोजगारात घट
(d) गुंतवणुकीत घट
शाश्वत विकास उद्दिष्टे (SDG) भारत निर्देशांक 2023-24 संदर्भात पुढील विधाने विचारात घ्या :
(a) या निर्देशांकाद्वारे सर्व राज्ये आणि केंद्रशासित प्रदेशांची शाश्वत विकास उद्दिष्टांच्या (SDGs) संदर्भातील प्रगती 113 निर्देशांकांच्या आधारे मोजली जाते, जी राष्ट्रीय निर्देशक ढाचा (NIF) शी सुसंगत आहे.
(b) प्रत्येक राज्य व केंद्रशासित प्रदेशासाठी सर्व 17 शाश्वत विकास उद्दिष्टांवर (SDGs) उद्दिष्टनिहाय गुण गणना केली जाते.
(c) एखाद्या राज्य किंवा केंद्रशासित प्रदेशाचा एकत्रित गुण क्रमांक (composite score) हा निर्देशांकात समाविष्ट असलेल्या SDGs वरील उद्दिष्टनिहाय गुणांचे एकत्रीकरण करून निश्चित केला जातो.
(d) या निर्देशांकात 0 गुण मिळणे म्हणजे त्या राज्याने किंवा केंद्रशासित प्रदेशाने मूल्यमापनातील SDG उद्दिष्टे पूर्णपणे साध्य केली आहेत असे दर्शविते.
सहकारी विकास निधी (CDF) बद्दल योग्य विधान/ने कोणती आहेत?
(a) त्याची स्थापना नाबार्डने केली आहे.
(b) त्याची स्थापना 1993 मध्ये केली गेली.
(c) सहकारी पतसंस्थांचे मजबुतीकरण हे या योजनेचे एक उद्दिष्ट आहे.