सरलीकरण (Simplification), VBODMAS नियम, वर्ग-वर्गमूळ, घन-घनमूळ व घातांक-करणीचे नियम (VBODMAS & Surds)
सरलीकरण (Simplification), VBODMAS नियम, वर्ग-वर्गमूळ, घन-घनमूळ व घातांक-करणीचे नियम: VBODMAS Left-to-Right नियम, घातांकाचे सर्व मूलभूत नियम, करणींचे संमेयीकरण, आवर्ती दशांश अपूर्णांक व १६ सविस्तर सोडवलेली उदाहरणे.
१. पदावली व सरलीकरण: VBODMAS नियम (Order of Operations)
कोणतीही गणिती पदावली (Mathematical Expression) सोडवताना डावीकडून उजवीकडे जाताना क्रियांचा एक विशिष्ट प्रमाणित क्रम पाळावा लागतो, ज्याला VBODMAS नियम म्हणतात. या क्रमाचे अचूक पालन करणे स्पर्धा परीक्षांमध्ये अत्यंत आवश्यक आहे.
| अक्षर | संज्ञा (Terminology) | मराठी नाव व चिन्ह | प्राधान्यक्रम व कार्यपद्धती |
|---|---|---|---|
| V | Vinculum (Bar) | रेघीय कंस ($\overline{a - b}$) | सर्वप्रथम (१ ला प्राधान्य): संख्येच्या डोक्यावरील रेषेखालील क्रिया इतर सर्व चिन्हांआधी सोडवावी. (उदा. $१० - \overline{४ - २} = १० - २ = \mathbf{८}$). |
| B | Brackets | कंस सोडवणे: १. साधे किंवा गोल कंस $( )$ २. महिरपी कंस $\{ \}$ ३. चौकटी कंस $[ ]$ |
२ रे प्राधान्य: सर्वात आधी आतला गोल कंस $( )$, नंतर महिरपी कंस $\{ \}$ आणि सर्वात शेवटी बाहेरचा चौकटी कंस $[ ]$ सोडवावा. |
| O | Of (Orders) | चा, ची, चे (किंवा घातांक/वर्गमूळ) | ३ रे प्राधान्य: 'चा/ची/चे' म्हणजेच गुणाकार, तसेच घातांक व वर्गमूळ या क्रिया भागाकार व नेहमीच्या गुणाकाराच्या आधी केल्या जातात. (उदा. $१२ \div ४ \text{ चे } ३ = १२ \div १२ = \mathbf{१}$). |
| D & M | Division & Multiplication | भागाकार ($\div$) व गुणाकार ($\times$) | ४ थे प्राधान्य (समान प्राधान्य - डावीकडून उजवीकडे / Left-to-Right): अतिशय महत्त्वाचा नियम: भागाकार आणि गुणाकार या दोन्ही क्रियांची प्राधान्य श्रेणी समान असते! पदावलीत जे चिन्ह प्रथम डावीकडे येईल ती क्रिया आधी करावी. (उदा. $२० \div ५ \times २ = ४ \times २ = \mathbf{८}$; येथे आधी गुणाकार करून $२० \div १० = २$ करणे ही गंभीर चूक ठरेल!). |
| A & S | Addition & Subtraction | बेरीज ($+$) व वजाबाकी ($-$) | ५ वे प्राधान्य (समान प्राधान्य - डावीकडून उजवीकडे / Left-to-Right): अतिशय महत्त्वाचा नियम: बेरीज आणि वजाबाकी यांची प्राधान्य श्रेणी समान असते. डावीकडून उजवीकडे ज्या क्रमाने चिन्हे येतील त्या क्रमाने क्रिया करावी. (उदा. $१० - ३ + २ = ७ + २ = \mathbf{९}$; येथे $१० - (३+२) = ५$ करणे चुकीचे आहे!). |
२. वर्ग, वर्गमूळ, घन व घनमूळ (Squares, Cubes & Speed Shortcuts)
(अ) १ ते ३० पर्यंतचे वर्ग व १ ते १५ पर्यंतचे घन तक्ता:
| संख्या ($n$) | वर्ग ($n^२$) | घन ($n^३$) | संख्या ($n$) | वर्ग ($n^२$) | संख्या ($n$) | वर्ग ($n^२$) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| १ | १ | १ | ११ | १२१ (घन: १,३३१) | २१ | ४४१ |
| २ | ४ | ८ | १२ | १४४ (घन: १,७२८) | २२ | ४८४ |
| ३ | ९ | २७ | १३ | १६९ (घन: २,१९७) | २३ | ५२९ |
| ४ | १६ | ६४ | १४ | १९६ (घन: २,७४४) | २४ | ५७६ |
| ५ | २५ | १२५ | १५ | २२५ (घन: ३,३७५) | २५ | ६२५ |
| ६ | ३६ | २१६ | १६ | २५६ | २६ | ६७६ |
| ७ | ४९ | ३४३ | १७ | २८९ | २७ | ७२९ |
| ८ | ६४ | ५१२ | १८ | ३२४ | २८ | ७८४ |
| ९ | ८१ | ७२९ | १९ | ३६१ | २९ | ८४१ |
| १० | १०० | १,००० | २० | ४०० (घन: ८,०००) | ३० | ९०० |
(ब) वर्ग व वर्गमूळ काढण्याच्या सुपरफास्ट शॉर्टकट ट्रिक्स:
- एकक स्थानी ५ असणाऱ्या संख्यांचा वर्ग:
दशक स्थानच्या संख्येला तिच्या पुढील लगतच्या संख्येने गुणावे आणि शेवटी २५ लिहावे.
• $२५^२ = (२ \times ३) \mid २५ = \mathbf{६२५}$
• $६५^२ = (६ \times ७) \mid २५ = \mathbf{४,२२५}$
• $८५^२ = (८ \times ९) \mid २५ = \mathbf{७,२२५}$
• $१०५^२ = (१० \times ११) \mid २५ = \mathbf{११,०२५}$ - ५० च्या जवळ असणाऱ्या संख्यांचा वर्ग (Base 50 Trick):
पाया संख्या २५ मानावी. संख्या ५० पेक्षा जितकी जास्त/कमी असेल तितके २५ मध्ये मिळवावे/वजा करावे, व पुढे फरकाचा वर्ग (२ अंकी) लिहावा.
• $५४^२$: फरक $= +४ \implies (२५ + ४) \mid ४^२ = \mathbf{२,९१६}$
• $४७^२$: फरक $= -३ \implies (२५ - ३) \mid ३^२ = \mathbf{२,२०९}$
• $४२^२$: फरक $= -८ \implies (२५ - ८) \mid ८^२ = \mathbf{१,७६४}$ - १०० च्या जवळ असणाऱ्या संख्यांचा वर्ग (Base 100 Trick):
दिलेल्या संख्येतच फरक मिळवावा/वजा करावा व पुढे फरकाचा २ अंकी वर्ग लिहावा.
• $९६^२$: १०० पेक्षा ४ ने लहान $\implies (९६ - ४) \mid ४^२ = \mathbf{९,२१६}$
• $१०७^२$: १०० पेक्षा ७ ने मोठा $\implies (१०७ + ७) \mid ७^२ = \mathbf{११,४४९}$ - घनमूळ काढण्याची ३ सेकंद पद्धत (Unit Digit Pattern):
घनमूळात एकक स्थान निश्चित असते:
$० \rightarrow ०, \quad १ \rightarrow १, \quad ४ \rightarrow ४, \quad ५ \rightarrow ५, \quad ६ \rightarrow ६, \quad ९ \rightarrow ९$
परंतु: $२ \leftrightarrow ८$ (२ चा घन ८, ८ चा घन २ वर संपतो) आणि $३ \leftrightarrow ७$ (३ चा घन ७, ७ चा घन ३ वर संपतो).
३. घातांक व करणीचे नियम (Laws of Indices & Surds)
(अ) घातांकाचे मूलभूत नियम (Laws of Indices):
| नियम नाव | गणिती सूत्र | नियम व स्पष्टीकरण | उदाहरण |
|---|---|---|---|
| गुणाकार नियम | $$a^m \times a^n = a^{m + n}$$ | पाया समान असल्यास गुणाकारात घातांकांची बेरीज होते. | $२^३ \times २^४ = २^{३+४} = २^७ = \mathbf{१२८}$ |
| भागाकार नियम | $$a^m \div a^n = a^{m - n}$$ | पाया समान असल्यास भागाकारात घातांकांची वजाबाकी होते. | $५^८ \div ५^५ = ५^{८-५} = ५^३ = \mathbf{१२५}$ |
| घाताचा घात | $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$ | घाताचा घात असल्यास घातांकांचा गुणाकार होतो. | $(३^२)^३ = ३^{२ \times ३} = ३^६ = \mathbf{७२९}$ |
| शून्य घातांक नियम | $$a^० = १ \quad (a \neq ०)$$ | शून्येतर कोणत्याही संख्येचा शून्य घातांक नेहमी १ असतो. | $(३८५)^० = \mathbf{१}, \quad (-१५)^० = \mathbf{१}$ |
| ऋण घातांक नियम | $$a^{-n} = \frac{१}{a^n} \quad \text{व} \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$ | ऋण घातांकाचा व्यस्त केल्यास धन घातांक होतो. | $२^{-३} = \frac{१}{२^३} = \mathbf{\frac{१}{८}}, \quad \left(\frac{२}{३}\right)^{-२} = \left(\frac{३}{२}\right)^२ = \mathbf{\frac{९}{४}}$ |
| अपूर्णांक घातांक नियम | $$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$$ | छेद मूळ (Root) दर्शवतो, तर अंश घात (Power) दर्शवतो. | $२७^{२/३} = (\sqrt[३]{२७})^२ = ३^२ = \mathbf{९}$ |
| समान पाया तुलना | $$a^x = a^y \implies x = y \quad (a \neq ०, १, -१)$$ | दोन्ही बाजूंचा पाया समान असल्यास घातांक समान असतात. | $२^{x+३} = २^७ \implies x + ३ = ७ \implies \mathbf{x = ४}$ |
(ब) करणीचे नियम (Laws of Surds):
जर $a$ ही धन परिमेय संख्या असेल आणि $\sqrt[n]{a}$ ही अपरिमेय संख्या असेल, तर $\sqrt[n]{a}$ ला करणी (Surd) म्हणतात. येथे '$n$' हा करणीचा कोटी (Order) आणि '$a$' ही करणीस्थ संख्या (Radicand) असते.
- $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$ (समान कोटीच्या करणींचा थेट गुणाकार करता येतो).
- $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
- सजातीय करणी (Like Surds): ज्या करणींचा कोटी व करणीस्थ संख्या समान असतात, त्यांचीच बेरीज व वजाबाकी होऊ शकते. (उदा. $३\sqrt{२} + ५\sqrt{२} = \mathbf{८\sqrt{२}}$).
- छेदाचे संमेयीकरण (Rationalization of Denominator): छेदातील करणी घालवण्यासाठी अनुबद्ध जोडीने (Conjugate pair) अंश व छेदास गुणतात.
$$\frac{१}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \mathbf{\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}}$$
४. आवर्ती दशांश अपूर्णांक व्यवहारी अपूर्णांकात रूपांतर (Recurring Decimals)
दशांश चिन्हा नंतर काही अंकांचा गट पुन्हा पुन्हा येत राहिल्यास त्याला आवर्ती दशांश अपूर्णांक म्हणतात. डोक्यावर बार ($\bar{}$) किंवा टिंब देऊन ते दर्शवले जाते.
| प्रकार | रूपांतर नियम / सूत्र | सोडवलेले उदाहरण |
|---|---|---|
| शुद्ध आवर्ती (Pure Recurring) - १ अंक | $$०.\bar{p} = \frac{p}{९}$$ | $०.\bar{६} = \frac{६}{९} = \mathbf{\frac{२}{३}}$ |
| शुद्ध आवर्ती - २ अंक | $$०.\overline{pq} = \frac{pq}{९९}$$ | $०.\overline{४५} = \frac{४५}{९९} = \mathbf{\frac{५}{११}}$ |
| मिश्र आवर्ती (Mixed Recurring) - १ स्थिर, १ आवर्ती | $$०.p\bar{q} = \frac{pq - p}{९०}$$ | $०.४\bar{७} = \frac{४७ - ४}{९०} = \mathbf{\frac{४३}{९०}}$ |
| मिश्र आवर्ती - २ स्थिर, १ आवर्ती | $$०.pq\bar{r} = \frac{pqr - pq}{९००}$$ | $०.१२\bar{३} = \frac{१२३ - १२}{९००} = \frac{१११}{९००} = \mathbf{\frac{३७}{३००}}$ |
| पूर्णांकयुक्त आवर्ती | $$a.\bar{p} = a + \frac{p}{९}$$ | $२.\bar{३} = २ + \frac{३}{९} = २ + \frac{१}{३} = \mathbf{\frac{७}{३}}$ |
५. सरलीकरणातील अत्यंत लोकप्रिय बीजगणितीय विस्तार सूत्रे (Algebraic Identities)
मोठ्या संख्यांची आकडेमोड सेकंदात करण्यासाठी खालील बैजिक सूत्रांचा वापर केला जातो:
- $$(a + b)^२ = a^२ + २ab + b^२$$
- $$(a - b)^२ = a^२ - २ab + b^२$$
- $$a^२ - b^२ = (a + b)(a - b) \implies \mathbf{\frac{a^२ - b^२}{a + b} = a - b}$$
- $$(a + b)^२ + (a - b)^२ = २(a^२ + b^२)$$
- $$(a + b)^२ - (a - b)^२ = ४ab \implies \mathbf{\frac{(a + b)^२ - (a - b)^२}{ab} = ४}$$
- $$a^३ + b^३ = (a + b)(a^२ - ab + b^२) \implies \mathbf{\frac{a^३ + b^३}{a^२ - ab + b^२} = a + b}$$
- $$a^३ - b^३ = (a - b)(a^२ + ab + b^२) \implies \mathbf{\frac{a^३ - b^३}{a^२ + ab + b^२} = a - b}$$
- $$\text{जर } a + b + c = ० \text{ असेल, तर } \mathbf{a^३ + b^३ + c^३ = ३abc}$$
६. सविस्तर सोडवलेली १६ आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Examples)
उदाहरण १ (VBODMAS डावीकडून उजवीकडे Left-to-Right नियम):
प्रश्न: $३६ \div ४ \times ३ - ८ + २$ चे मूल्य किती?
उकल:
१. येथे भागाकार ($\div$) आणि गुणाकार ($\times$) यांची प्राधान्य श्रेणी समान असल्याने डावीकडून उजवीकडे जावे:
• आधी भागाकार: $३६ \div ४ = ९$
२. आता गुणाकार: $९ \times ३ = २७$
३. आता बेरीज आणि वजाबाकी डावीकडून उजवीकडे:
• $२७ - ८ = १९$
• $१९ + २ = \mathbf{२१}$
उत्तर: अचूक मूल्य २१ आहे.
उदाहरण २ (Vinculum / बार कंस असलेले सरलीकरण):
प्रश्न: $२५ - [२० - \{१० - (७ - \overline{५ - ३})\}]$ चे मूल्य काढा.
उकल:
१. सर्वप्रथम बार रेषेखालील क्रिया: $\overline{५ - ३} = २$
२. गोल कंस सोडवू: $(७ - २) = ५$
३. महिरपी कंस सोडवू: $\{१० - ५\} = ५$
४. चौकटी कंस सोडवू: $[२० - ५] = १५$
५. सर्वात शेवटी बाहेरील वजाबाकी: $२५ - १५ = \mathbf{१०}$
उत्तर: पदावलीचे मूल्य १० आहे.
उदाहरण ३ ('Of' / चे आणि भागाकार यांमधील फरक):
प्रश्न: $४८ \div १२ \text{ चे } ४ + ३ \times २$ चे सरळ रूप काय?
उकल:
१. 'चे' (Of) ची क्रिया भागाकाराच्या आधी होते: $१२ \text{ चे } ४ = १२ \times ४ = ४८$
२. आता भागाकार: $४८ \div ४८ = १$
३. आता गुणाकार: $३ \times २ = ६$
४. शेवटी बेरीज: $१ + ६ = \mathbf{७}$
उत्तर: सरळ रूप ७ आहे.
उदाहरण ४ (घातांकाचे समीकरण):
प्रश्न: जर $२^{x - १} + २^{x + १} = ३२०$ असेल, तर $x$ चे मूल्य काढा.
उकल:
१. घातांक नियमानुसार फोड करू: $२^x \cdot २^{-१} + २^x \cdot २^१ = ३२०$
२. $२^x$ सामाईक (Common) काढू:
$$२^x \left(\frac{१}{२} + २\right) = ३२० \implies २^x \left(\frac{५}{२}\right) = ३२०$$
३. पक्षान्तर करू:
$$२^x = ३२० \times \frac{२}{५} = ६४ \times २ = १२८$$
४. १२८ हा २ चा ७ वा घात आहे: $२^x = २^७ \implies \mathbf{x = ७}$
उत्तर: $x$ चे मूल्य ७ आहे.
उदाहरण ५ (अपूर्णांक घातांक व करणी सरलीकरण):
प्रश्न: $\left(\frac{६४}{१२५}\right)^{-२/३}$ चे मूल्य किती?
उकल:
१. ऋण घातांकाचे धन करण्यासाठी अपूर्णांक व्यस्त करू: $\left(\frac{१२५}{६४}\right)^{२/३}$
२. $१२५ = ५^३$ आणि $६४ = ४^३$ असल्याने:
$$\left[\left(\frac{५}{४}\right)^३\right]^{२/३} = \left(\frac{५}{४}\right)^{३ \times \frac{२}{३}} = \left(\frac{५}{४}\right)^२ = \mathbf{\frac{२५}{१६}}$$
उत्तर: मूल्य $\frac{२५}{१६}$ (किंवा $१\frac{९}{१६}$) आहे.
उदाहरण ६ (दशांश अपूर्णांकांचे वर्गमूळ):
प्रश्न: $\sqrt{०.०००५७६}$ चे मूल्य किती?
उकल:
१. दशांश चिन्हाशिवाय संख्या $= ५७६$. आपल्याला माहीत आहे $२४^२ = ५७६$.
२. मूळ संख्येत दशांश चिन्हा नंतर ६ घरे (Digits) आहेत.
३. वर्गमूळ काढताना दशांश स्थळे निम्मी होतात: $६ \div २ = ३$ घरे.
४. म्हणून उत्तरात ३ दशांश स्थळे येतील: $\mathbf{०.०२४}$.
उत्तर: मूल्य ०.०२४ आहे.
उदाहरण ७ (घनमूळ काढणे - ३ सेकंद युनिट डिजिट ट्रिक):
प्रश्न: $\sqrt[३]{१,०३,८२३}$ चे घनमूळ किती?
उकल:
१. शेवटचे ३ अंक वेगळे करू: $(१०३) \mid (८२३)$
२. शेवटचा अंक $३$ आहे. $३$ चा संबंध $७$ शी असतो ($७^३ = ३४३$), म्हणून एकक स्थानी ७ येईल.
३. डावीकडील संख्या $१०३$ आहे. $४^३ = ६४$ आणि $५^३ = १२५$. $१०३$ ही संख्या ६४ आणि १२५ च्या दरम्यान असून ती $४^३$ च्या पुढे आहे. म्हणून दशक स्थानी ४ येईल.
४. एकत्र संख्या: $\mathbf{४७}$.
उत्तर: घनमूळ ४७ आहे.
उदाहरण ८ (अनंत करणी मालिका - Infinite Surds Pattern):
प्रश्न: $\sqrt{५६ + \sqrt{५६ + \sqrt{५६ + \dots \infty}}}$ चे मूल्य काढा.
उकल:
१. जर करणीत $+$ चिन्ह असेल आणि मालिका अनंत ($\infty$) पर्यंत जात असेल, तर संख्येचे दोन क्रमवार अवयव (Consecutive Factors) पाडावेत:
$$५६ = ७ \times ८$$
२. $+$ चिन्ह असल्यास मोठा अवयव हेच उत्तर असते: $\mathbf{८}$.
(टीप: जर $-$ चिन्ह असते, तर लहान अवयव म्हणजेच $७$ उत्तर आले असते).
उत्तर: मूल्य ८ आहे.
उदाहरण ९ (छेदाचे संमेयीकरण - Rationalization):
प्रश्न: $\frac{१}{\sqrt{७} - \sqrt{५}}$ या करणीच्या छेदाचे परिमेयकरण करा.
उकल:
१. छेदाची अनुबद्ध जोडी (Conjugate) $\sqrt{७} + \sqrt{५}$ ने अंश व छेदास गुणू:
$$\frac{१}{\sqrt{७} - \sqrt{५}} \times \frac{\sqrt{७} + \sqrt{५}}{\sqrt{७} + \sqrt{५}} = \frac{\sqrt{७} + \sqrt{५}}{(\sqrt{७})^२ - (\sqrt{५})^२}$$
२. छेद $= ७ - ५ = २$
$$\mathbf{= \frac{\sqrt{७} + \sqrt{५}}{२}}$$
उत्तर: अचूक रूप $\frac{\sqrt{७} + \sqrt{५}}{२}$ आहे.
उदाहरण १० (आवर्ती दशांश अपूर्णांकांची बेरीज):
प्रश्न: $०.\bar{३} + ०.\bar{६} + ०.\bar{७}$ चे व्यवहारी अपूर्णांकात मूल्य किती?
उकल:
१. सूत्राप्रमाणे व्यवहारी अपूर्णांकात रूपांतर करू:
• $०.\bar{३} = \frac{३}{९}$
• $०.\bar{६} = \frac{६}{९}$
• $०.\bar{७} = \frac{७}{९}$
२. छेद समान असल्याने अंशांची बेरीज करू:
$$\frac{३ + ६ + ७}{९} = \frac{१६}{९} = \mathbf{१\frac{७}{९}}$$
उत्तर: मूल्य $\frac{१६}{९}$ किंवा $१\frac{७}{९}$ (दशांशात $१.\bar{७}$) आहे.
उदाहरण ११ (मिश्र आवर्ती अपूर्णांक रूपांतर):
प्रश्न: $०.२\bar{३५}$ चे व्यवहारी अपूर्णांकात रूपांतर करा.
उकल:
१. सूत्र: $\frac{\text{एकूण संख्या} - \text{विना आवर्ती भाग}}{९९०}$ (२ अंक आवर्ती म्हणून दोनदा ९, १ अंक स्थिर म्हणून एक ०):
$$०.२\bar{३५} = \frac{२३५ - २}{९९०} = \mathbf{\frac{२३३}{९९०}}$$
उत्तर: व्यवहारी अपूर्णांक $\frac{२३३}{९९०}$ आहे.
उदाहरण १२ (बीजगणितीय सूत्र सरलीकरण - $a^३ + b^३$ Pattern):
प्रश्न: खालील पदावलीचे अतिसंक्षिप्त रूप काढा: $$\frac{०.७३ \times ०.७३ \times ०.७३ + ०.२७ \times ०.२७ \times ०.२७}{०.७३ \times ०.७३ - ०.७३ \times ०.२७ + ०.२७ \times ०.२७}$$
उकल:
१. समजा $a = ०.७३$ आणि $b = ०.२७$.
२. पदावलीचे स्वरूप: $\frac{a^३ + b^३}{a^२ - ab + b^२}$
३. आपण जाणतो की $a^३ + b^३ = (a + b)(a^२ - ab + b^२)$.
$$\frac{(a + b)(a^२ - ab + b^२)}{a^२ - ab + b^२} = \mathbf{a + b}$$
४. $a + b = ०.७३ + ०.२७ = \mathbf{१.००}$
उत्तर: संपूर्ण पदावलीचे अचूक मूल्य १ आहे.
उदाहरण १३ ($a^२ - b^२$ विस्तार सूत्र उपयोजन):
प्रश्न: $\frac{(५४२ + २४६)^२ - (५४२ - २४६)^२}{५४२ \times २४६}$ चे मूल्य किती?
उकल:
१. येथे $a = ५४२, b = २४६$ मानू.
२. पदावलीचे रूप: $\frac{(a + b)^२ - (a - b)^२}{ab}$
३. विस्तार सूत्र: $(a + b)^२ - (a - b)^२ = ४ab$
$$\frac{४ab}{ab} = \mathbf{४}$$
उत्तर: कोणतीही आकडेमोड न करता थेट उत्तर ४ येते.
उदाहरण १४ (करणींची तुलना - सर्वात मोठी संख्या ओळखणे):
प्रश्न: $\sqrt[३]{३}$ आणि $\sqrt{२}$ यांपैकी कोणती संख्या मोठी आहे?
उकल:
१. पहिल्या करणीचा कोटी ३ व दुसऱ्या करणीचा कोटी २ आहे.
२. ३ आणि २ चा लसावि $= \mathbf{६}$ आहे. दोन्ही करणींचा कोटी ६ करू:
• $\sqrt[३]{३} = ३^{१/३} = ३^{२/६} = \sqrt[६]{३^२} = \sqrt[६]{९}$
• $\sqrt{२} = २^{१/२} = २^{३/६} = \sqrt[६]{२^३} = \sqrt[६]{८}$
३. कोटी समान असताना करणीस्थ संख्यांची तुलना करू: $९ > ८ \implies \sqrt[६]{९} > \sqrt[६]{८}$.
म्हणून $\mathbf{\sqrt[३]{३} > \sqrt{२}}$.
उत्तर: सर्वात मोठी संख्या $\sqrt[३]{३}$ आहे.
उदाहरण १५ (सलग भागाकार नियम - Continuous Division):
प्रश्न: $१२० \div ६ \div ५ \div २$ चे मूल्य किती?
उकल:
१. सलग भागाकार नेहमी डावीकडून उजवीकडे (Left-to-Right) करावा:
• पायरी १: $१२० \div ६ = २०$
• पायरी २: $२० \div ५ = ४$
• पायरी ३: $४ \div २ = \mathbf{२}$
(शॉर्टकट: $१२० \div (६ \times ५ \times २) = \frac{१२०}{६०} = \mathbf{२}$).
उत्तर: मूल्य २ आहे.
उदाहरण १६ ($a + b + c = ०$ विशेष सूत्र):
प्रश्न: जर $x + y + z = ०$ असेल, तर $\frac{x^२}{yz} + \frac{y^२}{zx} + \frac{z^२}{xy}$ चे मूल्य काय असेल?
उकल:
१. लसावि $xyz$ घेऊन बेरीज करू:
$$\frac{x^३ + y^३ + z^३}{xyz}$$
२. सूत्रानुसार जर $x + y + z = ०$ असेल, तर $x^३ + y^३ + z^३ = ३xyz$ असते.
$$\frac{३xyz}{xyz} = \mathbf{३}$$
उत्तर: पदावलीचे निश्चित मूल्य ३ आहे.
७. स्पर्धा परीक्षांमध्ये वारंवार होणाऱ्या ७ सामान्य चुका (Common Traps & Solutions)
| क्र. | सामान्य चूक (Common Mistake) | चुकीची मांडणी | अचूक पद्धत व नियम |
|---|---|---|---|
| १ | भागाकार व गुणाकारात नेहमी भागाकारच आधी करणे | $८ \times ४ \div २ = ८ \times २ = १६$ (योगायोगाने आले तरी क्रम चुकीचा!) | Left-to-Right नियम: जे डावीकडे प्रथम येईल ते आधी सोडवावे. $८ \times ४ \div २ = ३२ \div २ = १६$. |
| २ | वजाबाकीच्या आधी बेरीज करणे | $१५ - ५ + ३ = १५ - ८ = ७$ (चूक!) | $+$ व $-$ समान प्राधान्य असल्याने डावीकडून सोडवा: $१५ - ५ + ३ = १० + ३ = \mathbf{१३}$. |
| ३ | 'Of' आणि नेहमीचा गुणाकार यात फरक न करणे | $१६ \div ४ \text{ चे } २ = ४ \times २ = ८$ (चूक!) | 'चे' भागाकाराच्या आधी होतो: $१६ \div (४ \times २) = १६ \div ८ = \mathbf{२}$. |
| ४ | ऋण संख्येचा वर्ग ऋण मानणे | $(-४)^२ = -१६$ (चूक!) | कोणत्याही वास्तव संख्येचा वर्ग नेहमी धन असतो: $(-४)^२ = \mathbf{+१६}$. परंतु $-४^२ = -१६$ असते. |
| ५ | करणींची अयोग्य बेरीज करणे | $\sqrt{९} + \sqrt{१६} = \sqrt{२५} = ५$ (चूक!) | स्वतंत्र वर्गमुळे काढून बेरीज करावी: $\sqrt{९} + \sqrt{१६} = ३ + ४ = \mathbf{७}$. |
| ६ | दशांश वर्गमूळात दशांश घरे चुकणे | $\sqrt{०.४} = ०.२$ (गंभीर चूक!) | $\sqrt{०.०४} = ०.२$ असते, कारण $०.२ \times ०.२ = ०.०४$. $\sqrt{०.४} = \sqrt{०.४०} \approx ०.६३२$ येते. |
| ७ | आवर्ती दशांशात छेद ९ ऐवजी १० घेणे | $०.\bar{७} = \frac{७}{१०}$ (चूक!) | आवर्ती दशांशाचा छेद ९ असतो: $०.\bar{७} = \mathbf{\frac{७}{९}}$. |
८. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे १५ वन-लायनर्स
| क्र. | महत्त्वाचा प्रश्न / संकल्पना | अचूक उत्तर व स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | पूर्ण वर्ग संख्येच्या एकक स्थानी कोणते अंक कधीही नसतात? | २, ३, ७ आणि ८ हे अंक कधीही असत नाहीत. |
| २ | $a^०$ चे मूल्य किती असते? | १ ($a \neq ०$). |
| ३ | $\frac{a^३ - b^३}{a^२ + ab + b^२}$ चे सरळ रूप काय? | $a - b$. |
| ४ | $\frac{a^३ + b^३}{a^२ - ab + b^२}$ चे सरळ रूप काय? | $a + b$. |
| ५ | $०.\bar{७}$ चे व्यवहारी अपूर्णांकातील रूप काय? | $\frac{७}{९}$. |
| ६ | $०.२\bar{३}$ चे व्यवहारी अपूर्णांकातील रूप काय? | $\frac{२३ - २}{९०} = \mathbf{\frac{२१}{९०} = \frac{७}{३०}}$. |
| ७ | ११ चा घन किती? | १,३३१. |
| ८ | १२ चा घन किती? | १,७२८. |
| ९ | $\sqrt{०.०९}$ चे मूल्य किती? | ०.३ (वर्गमूळात दशांश स्थळे निम्मी होतात). |
| १० | $\sqrt[३]{०.००००६४}$ चे मूल्य किती? | ०.०४ (घनमूळात दशांश स्थळे एक-तृतीयांश होतात: ६ स्थळे $\implies$ २ स्थळे). |
| ११ | $(०.२)^३$ चे मूल्य किती? | ०.००८ ($२^३ = ८$, ३ दशांश स्थळे). |
| १२ | $३५^२$ किती? | १,२२५ ($३ \times ४ = १२$ आणि २५). |
| १३ | VBODMAS नियमात 'Of' (चे) चा अर्थ काय? | गुणाकार, परंतु हा भागाकाराच्या आधी सोडवला जातो. |
| १४ | $(-१)$ चा घातांक सम संख्या असल्यास उत्तर काय येते? | $+१$ ($(-१)^{सम} = १$; $(-१)^{विषम} = -१$). |
| १५ | $\sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \dots \infty}}}$ चे अवयव $n(n+१)$ असल्यास उत्तर काय? | $n + १$ (मोठा अवयव). |
९. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)
MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन गट ब):
प्रश्न: खालील पदावली सोडवा:
$$\frac{(०.९६)^३ - (०.०८)^३}{(०.९६)^२ + ०.९६ \times ०.०८ + (०.०८)^२} = \text{?}$$
(१) १.०४
(२) ०.८८
(३) ०.०८
(४) ०.९२
उत्तर: (२) ०.८८
सखोल स्पष्टीकरण:
१. येथे $a = ०.९६$ आणि $b = ०.०८$ मानू.
२. पदावलीचा आकार: $\frac{a^३ - b^३}{a^२ + ab + b^२}$.
३. सूत्राप्रमाणे: $a^३ - b^३ = (a - b)(a^२ + ab + b^२)$.
४. म्हणून पदावलीचे मूल्य $= a - b$:
$$०.९६ - ०.०८ = \mathbf{०.८८}$$
म्हणून पर्याय (२) बरोबर आहे.
MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):
प्रश्न: जर $x = \sqrt{३ + \sqrt{३ + \sqrt{३ + \dots \infty}}}$ असेल, तर खालीलपैकी कोणते विधान सत्य आहे?
(१) $x = ३$
(२) $२ < x < ३$
(३) $x > ३$
(४) $१ < x < २$
उत्तर: (२) $२ < x < ३$
सखोल स्पष्टीकरण:
१. दोन्ही बाजूंचा वर्ग करू: $x^२ = ३ + x \implies x^२ - x - ३ = ०$.
२. वर्गसमीकरण सोडवण्याचे सूत्र: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^२ - ४ac}}{२a}$
येथे $a=१, b=-१, c=-३$:
$$x = \frac{-(-१) \pm \sqrt{(-१)^२ - ४(१)(-३)}}{२(१)} = \frac{१ + \sqrt{१ + १२}}{२} = \frac{१ + \sqrt{१३}}{२}$$
३. $\sqrt{१३}$ चे अंदाजे मूल्य $\approx ३.६$ आहे.
$$x \approx \frac{१ + ३.६}{२} = \frac{४.६}{२} = \mathbf{२.३}$$
४. $२.३$ हे मूल्य २ आणि ३ च्या दरम्यान येते. म्हणून पर्याय (२) तंतोतंत बरोबर आहे.
MPSC सराव प्रश्न ३ (कम्बाइन गट क):
प्रश्न: खालीलपैकी सर्वात मोठी संख्या कोणती?
$$\sqrt[३]{४}, \quad \sqrt[४]{६}, \quad \sqrt[६]{१५}, \quad \sqrt[१२]{२४५}$$
(१) $\sqrt[३]{४}$
(२) $\sqrt[४]{६}$
(३) $\sqrt[६]{१५}$
(४) $\sqrt[१२]{२४५}$
उत्तर: (१) $\sqrt[३]{४}$
सखोल स्पष्टीकरण:
१. सर्व करणींचा कोटी (Order: ३, ४, ६, १२) समान करू. ३, ४, ६ आणि १२ चा लसावि $= \mathbf{१२}$ आहे.
२. सर्वांना १२ व्या कोटीत रूपांतरित करू:
• $\sqrt[३]{४} = \sqrt[१२]{४^४} = \sqrt[१२]{२५६}$
• $\sqrt[४]{६} = \sqrt[१२]{६^३} = \sqrt[१२]{२१६}$
• $\sqrt[६]{१५} = \sqrt[१२]{१५^२} = \sqrt[१२]{२२५}$
• $\sqrt[१२]{२४५} = \sqrt[१२]{२४५}$
३. आता करणीस्थ संख्यांची तुलना करू: २५६, २१६, २२५ आणि २४५.
यांपैकी २५६ ही सर्वात मोठी संख्या आहे, जी $\sqrt[३]{४}$ चे मूल्य दर्शवते.
म्हणून सर्वात मोठी संख्या $\sqrt[३]{४}$ आहे.
पदावली, सरलीकरण (VBODMAS), घातांक व करणी सराव चाचणी ०२
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.