सरलीकरण (Simplification), VBODMAS नियम, वर्ग-वर्गमूळ, घन-घनमूळ व घातांक-करणीचे नियम (VBODMAS & Surds)
सरलीकरण (Simplification), VBODMAS नियम, वर्ग-वर्गमूळ, घन-घनमूळ व घातांक-करणीचे नियम (VBODMAS & Surds) या घटकामध्ये VBODMAS नियम (Order of Operations), घातांकाचे सर्व मूलभूत नियम (Laws of Indices), सोडवून दाखवलेली उदाहरणे या मुद्द्यांचा सविस्तर समावेश आहे.
१. पदावली व सरलीकरण: VBODMAS नियम (Order of Operations)
कोणतीही गणिती पदावली (Mathematical Expression) सोडवताना डावीकडून उजवीकडे जाताना क्रियांचा एक विशिष्ट प्रमाणित क्रम पाळावा लागतो, ज्याला VBODMAS नियम म्हणतात. या क्रमाचे उल्लंघन केल्यास गणिती उत्तर हमखास चुकते.
| अक्षर | संज्ञा (Terminology) | मराठी नाव व चिन्ह | प्राधान्यक्रम व कार्य |
|---|---|---|---|
| V | Vinculum (Bar) | रेघीय कंस ($\overline{a - b}$) | सर्वप्रथम (१ ला प्राधान्य): संख्येच्या डोक्यावरील रेषेखालील क्रिया इतर सर्व चिन्हांआधी सोडवावी. (उदा. $१० - \overline{४ - २} = १० - २ = ८$). |
| B | Brackets | कंस सोडवणे: १. साधे किंवा गोल कंस $( )$ २. महिरपी कंस $\{ \}$ ३. चौकटी कंस $[ ]$ |
२ रे प्राधान्य: सर्वात आधी आतला गोल कंस $( )$, नंतर महिरपी कंस $\{ \}$ आणि सर्वात शेवटी बाहेरचा चौकटी कंस $[ ]$ सोडवावा. |
| O | Of | चा, ची, चे (किंवा घातांक/वर्गमूळ) | ३ रे प्राधान्य: 'चा/ची/चे' म्हणजेच गुणाकार, परंतु हा गुणाकार भागाकाराच्या आधी सोडवला जातो! (उदा. $१२ \div ४ \text{ चा } ३ = १२ \div १२ = \mathbf{१}$; $१२ \div ४ \times ३ = ३ \times ३ = ९$ नव्हे!). |
| D | Division | भागाकार ($\div$ किंवा $/$) | ४ थे प्राधान्य: डावीकडून उजवीकडे भागाकाराची क्रिया करावी. |
| M | Multiplication | गुणाकार ($\times$) | ५ वे प्राधान्य: भागाकार झाल्यानंतर गुणाकाराची क्रिया करावी. |
| A | Addition | बेरीज ($+$) | ६ वे प्राधान्य: धन संख्यांची बेरीज करावी. |
| S | Subtraction | वजाबाकी ($-$) | ७ वे प्राधान्य (शेवटचे): सर्वात शेवटी वजाबाकी करावी. |
चिन्हांचे मूलभूत गुणाकार व भागाकार नियम:
- $(+) \times (+) = \mathbf{+}$ आणि $(-) \times (-) = \mathbf{+}$ (समान चिन्हांचा गुणाकार नेहमी धन येतो).
- $(+) \times (-) = \mathbf{-}$ आणि $(-) \times (+) = \mathbf{-}$ (विरुद्ध चिन्हांचा गुणाकार नेहमी ऋण येतो).
- दोन ऋण संख्यांची बेरीज करताना संख्यांची बेरीज होते व उत्तराला 'ऋण ($-$)' चिन्ह लागते (उदा. $-५ - ८ = \mathbf{-१३}$).
२. वर्ग, वर्गमूळ, घन व घनमूळ (Squares, Cubes & Speed Tricks)
(अ) १ ते ३० पर्यंतचे वर्ग व १ ते १५ पर्यंतचे घन तक्ता:
| संख्या | वर्ग ($n^२$) | संख्या | वर्ग ($n^२$) | संख्या | वर्ग ($n^२$) | संख्या | घन ($n^३$) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| १ | १ | ११ | १२१ | २१ | ४४१ | १ | १ |
| २ | ४ | १२ | १४४ | २२ | ४८४ | २ | ८ |
| ३ | ९ | १३ | १६९ | २३ | ५२९ | ३ | २७ |
| ४ | १६ | १४ | १९६ | २४ | ५७६ | ४ | ६४ |
| ५ | २५ | १५ | २२५ | २५ | ६२५ | ५ | १२५ |
| ६ | ३६ | १६ | २५६ | २६ | ६७६ | ६ | २१६ |
| ७ | ४९ | १७ | २८९ | २७ | ७२९ | ७ | ३४३ |
| ८ | ६४ | १८ | ३२४ | २८ | ७८४ | ८ | ५१२ |
| ९ | ८१ | १९ | ३६१ | २९ | ८४१ | ९ | ७२९ |
| १० | १०० | २० | ४०० | ३० | ९०० | १० | १,००० |
| - | - | - | - | - | - | ११ | १,३३१ |
| - | - | - | - | - | - | १२ | १,७२८ |
| - | - | - | - | - | - | १३ | २,१९७ |
| - | - | - | - | - | - | १४ | २,७४४ |
| - | - | - | - | - | - | १५ | ३,३७५ |
(ब) वर्ग व वर्गमूळ काढण्याच्या सुपरफास्ट वैदिक ट्रिक्स:
- एकक स्थानी ५ असणाऱ्या संख्यांचा वर्ग:
दशक स्थानच्या अंकाला त्याच्या पुढील क्रमिक अंकाने गुणावे व शेवटी २५ लिहावे:
$$३५^२ \implies ३ \times ४ = १२ \text{ आणि } २५ \implies \mathbf{१,२२५}$$
$$७५^२ \implies ७ \times ८ = ५६ \text{ आणि } २५ \implies \mathbf{५,६२५}$$
$$१०५^२ \implies १० \times ११ = ११० \text{ आणि } २५ \implies \mathbf{११,०२५}$$ - ५० च्या जवळपास असणाऱ्या संख्यांचा वर्ग (Base 50 Trick):
पाया ५० आणि संदर्भ संख्या २५ वापरावी:
• $५४^२ \rightarrow ५० + ४ \implies २५ + ४ = २९$ आणि $४^२ = १६ \implies \mathbf{२,९१६}$.
• $४६^२ \rightarrow ५० - ४ \implies २५ - ४ = २१$ आणि $४^२ = १६ \implies \mathbf{२,११६}$.
• $५७^२ \rightarrow ५० + ७ \implies २५ + ७ = ३२$ आणि $७^२ = ४९ \implies \mathbf{३,२४९}$. - पूर्ण वर्ग संख्येचे वर्गमूळ (Square Root Elimination):
• पूर्ण वर्ग संख्येच्या एकक स्थानी कधीही २, ३, ७ किंवा ८ हे अंक नसतात! (असल्यास ती कधीही पूर्ण वर्ग असू शकत नाही).
• पूर्ण वर्ग संख्येच्या शेवटी विषम संख्येत शून्ये (उदा. १ शून्य, ३ शून्ये) कधीही नसतात. - घनमूळ काढण्याची ३ सेकंदांची शॉर्टकट ट्रिक (Cube Root Trick):
घनांचे एकक स्थान: १ चा १, ४ चा ४, ५ चा ५, ६ चा ६, ९ चा ९, ० चा ०.
फक्त २ $\leftrightarrow$ ८ आणि ३ $\leftrightarrow$ ७ या जोड्या परस्परांशी अदलाबदल करतात!
उदा. $\sqrt[३]{१७५७६}$ चे घनमूळ:
शेवटचा अंक ६ आहे $\implies$ उत्तराचा एकक अंक ६ असेल.
शेवटचे तीन अंक ($५७६$) खोडून टाका. शिल्लक उरली संख्या १७.
१७ च्या लगतचा लहान पूर्ण घन = ८ ($२^३ = ८$). म्हणून दशक अंक २.
$\implies \mathbf{\sqrt[३]{१७५७६} = २६}$. (अत्यंत अचूक व ३ सेकंदांत उत्तर!).
३. घातांक व करणीचे नियम (Laws of Indices & Surds)
| नियम (Law) | गणिती सूत्र | स्पष्टीकरण व उदाहरण |
|---|---|---|
| गुणाकाराचा नियम | $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ | पाया समान असल्यास गुणाकारात घातांकांची बेरीज होते. उदा. $२^३ \times २^४ = २^{३+४} = २^७ = १२८$. |
| भागाकाराचा नियम | $$a^m \div a^n = a^{m-n}$$ | पाया समान असल्यास भागाकारात घातांकांची वजाबाकी होते. उदा. $५^६ \div ५^२ = ५^{६-२} = ५^४ = ६२५$. |
| घाताचा घात | $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$ | घातांकांचा परस्पर गुणाकार होतो. उदा. $(३^२)^३ = ३^{२ \times ३} = ३^६ = ७२९$. सावधान: $३^{२^३} = ३^८ = ६,५६१$ असते! |
| गुणाकाराचा एकत्रित घात | $$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$ | उदा. $(२ \times ५)^३ = २^३ \times ५^३ = ८ \times १२५ = १,०००$. |
| भागाकाराचा एकत्रित घात | $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$ | उदा. $\left(\frac{२}{३}\right)^४ = \frac{२^४}{३^४} = \frac{१६}{८१}$. |
| ऋण घातांकाचा नियम | $$a^{-n} = \frac{१}{a^n} \text{ आणि } \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$ | उदा. $२^{-३} = \frac{१}{२^३} = \frac{१}{८}$; $\left(\frac{३}{४}\right)^{-२} = \left(\frac{४}{३}\right)^२ = \frac{१६}{९}$. |
| शून्य घातांकाचा नियम | $$a^० = १ \quad (a \neq ०)$$ | कोणत्याही संख्येचा शून्यवा घात नेहमी १ असतो. उदा. $(५,४८९)^० = १$. |
| अपूर्णांक घातांक (करणी) | $$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$$ | उदा. $६४^{२/३} = (\sqrt[३]{६४})^२ = ४^२ = \mathbf{१६}$. |
| घातांकी समीकरण तुलना | जर $a^x = a^y$ तर $x = y$ ($a \neq ०, \pm १$) | पाया समान असल्यास घातांक समान मानून अज्ञात राशी शोधता येते. |
| करणीचे संमेयीकरण (Rationalization) | $$\frac{१}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$$ | छेदातील अपरिमेय करणी दूर करण्यासाठी अनुबद्ध करणीने (Conjugate) अंशाला व छेदाला गुणावे. |
४. आवर्ती दशांश अपूर्णांक व्यवहारी अपूर्णांकात रूपांतर (Recurring Decimals)
| प्रकार (Type) | दशांश स्वरूप | रूपांतर पद्धत व सूत्र | उदाहरणे |
|---|---|---|---|
| शुद्ध आवर्ती (Pure Recurring) | $०.\bar{a}$ किंवा $०.\overline{ab}$ | दशांशानंतर जेवढे आवर्ती अंक असतील तेवढे ९ छेदात लिहावेत. | • $०.\bar{७} = \mathbf{\frac{७}{९}}$ • $०.\overline{५४} = \frac{५४}{९९} = \mathbf{\frac{६}{११}}$ • $०.\overline{१२३} = \frac{१२३}{९९९} = \mathbf{\frac{४१}{३३३}}$ |
| मिश्र आवर्ती (Mixed Recurring) | $०.a\bar{b}$ किंवा $०.ab\overline{cd}$ | $$\frac{\text{एकूण संख्या} - \text{अनावर्ती अंक}}{\text{आवर्ती अंकांसाठी ९ आणि अनावर्तीसाठी ०}}$$ | • $०.४\bar{७} = \frac{४७ - ४}{९०} = \mathbf{\frac{४३}{९०}}$ • $०.१२\bar{३} = \frac{१२३ - १२}{९००} = \mathbf{\frac{१११}{९००}}$ • $२.३\overline{४५} = २ + \frac{३४५ - ३}{९९०} = २ + \frac{३४२}{९९०}$ |
५. सरलीकरणातील अत्यंत लोकप्रिय बीजगणितीय विस्तार सूत्रे (Algebraic Identities)
TCS, IBPS आणि MPSC च्या सरलीकरण (Simplification) प्रश्नांमध्ये प्रत्यक्ष मोठी आकडेमोड न करता खालील सूत्रांचा वापर करून अवघ्या ५ सेकंदांत उत्तर काढता येते:
| विस्तार सूत्र (Identity) | परीक्षेतील उपयोजित रूप (Applied Exam Form) | उदाहरण |
|---|---|---|
| $a^२ - b^२ = (a+b)(a-b)$ | $$\frac{a^२ - b^२}{a - b} = a + b \quad \text{किंवा} \quad \frac{a^२ - b^२}{a + b} = a - b$$ | $\frac{७.८५^२ - २.१५^२}{७.८५ - २.१५} = ७.८५ + २.१५ = \mathbf{१०}$. |
| $a^३ + b^३ = (a+b)(a^२ - ab + b^२)$ | $$\mathbf{\frac{a^३ + b^३}{a^२ - ab + b^२} = a + b}$$ | $\frac{०.८७ \times ०.८७ \times ०.८७ + ०.१३ \times ०.१३ \times ०.१३}{०.८७^२ - ०.८७ \times ०.१३ + ०.१३^२} = ०.८७ + ०.१३ = \mathbf{१}$. |
| $a^३ - b^३ = (a-b)(a^२ + ab + b^२)$ | $$\mathbf{\frac{a^३ - b^३}{a^२ + ab + b^२} = a - b}$$ | $\frac{०.०५^३ - ०.०१^३}{०.०५^२ + ०.०५ \times ०.०१ + ०.०१^२} = ०.०५ - ०.०१ = \mathbf{०.०४}$. |
| $(a+b)^२ + (a-b)^२ = २(a^२ + b^२)$ | $$\frac{(a+b)^२ + (a-b)^२}{a^२ + b^२} = \mathbf{२}$$ | $\frac{(९४३ + ८६४)^२ + (९४३ - ८६४)^२}{९४३^२ + ८६४^२} = \mathbf{२}$ (संख्या कोणतीही असो, उत्तर २!). |
| $(a+b)^२ - (a-b)^२ = ४ab$ | $$\frac{(a+b)^२ - (a-b)^२}{ab} = \mathbf{४}$$ | $\frac{(७८३ + ३६५)^२ - (७८३ - ३६५)^२}{७८३ \times ३६५} = \mathbf{४}$ (थेट उत्तर ४!). |
| जर $a + b + c = ०$ असेल | $$\mathbf{a^३ + b^३ + c^३ = ३abc}$$ | $(२५)^३ + (-१५)^३ + (-१०)^३ = ३(२५)(-१५)(-१०) = \mathbf{११,२५०}$. |
६. सविस्तर सोडवलेली आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Problems)
उदाहरण १ (VBODMAS Master Problem):
प्रश्न: खालील पदावलीचे मूल्य काढा:
$$३६ \div ९ \text{ चे } ४ + [१४ - \{८ + (१२ - \overline{५ - २})\}]$$
उकल (VBODMAS क्रमाने पायऱ्या):
- पायरी १ (रेघीय कंस $\overline{५-२}$):
$५ - २ = ३$.
पदावली बनेल: $३६ \div ९ \text{ चे } ४ + [१४ - \{८ + (१२ - ३)\}]$ - पायरी २ (गोल कंस $(१२-३)$):
$१२ - ३ = ९$.
पदावली बनेल: $३६ \div ९ \text{ चे } ४ + [१४ - \{८ + ९\}]$ - पायरी ३ (महिरपी कंस $\{८+९\}$):
$८ + ९ = १७$.
पदावली बनेल: $३६ \div ९ \text{ चे } ४ + [१४ - १७]$ - पायरी ४ (चौकटी कंस $[१४-१७]$):
$१४ - १७ = -३$.
पदावली बनेल: $३६ \div ९ \text{ चे } ४ + (-३)$ - पायरी ५ ('चे / Of' ची क्रिया भागाकाराच्या आधी!):
$९ \text{ चे } ४ = ९ \times ४ = \mathbf{३६}$.
पदावली बनेल: $३६ \div ३६ + (-३)$ - पायरी ६ (भागाकार व बेरीज/वजाबाकी):
$३६ \div ३६ = १$.
$$१ + (-३) = १ - ३ = \mathbf{-२}$$.
उत्तर: पदावलीचे अचूक मूल्य -२ आहे.
उदाहरण २ (घातांकाचे समीकरण):
प्रश्न: जर $२^{x-१} + २^{x+१} = ३२०$ असेल, तर '$x$' चे मूल्य किती?
उकल:
- डाव्या बाजूला घातांकाचा नियम वापरू: $$२^{x-१} = \frac{२^x}{२^१} = \frac{२^x}{२}$$ $$२^{x+१} = २^x \times २^१ = २ \cdot २^x$$
- आता $२^x$ सामाईक (Common) काढू: $$२^x \left(\frac{१}{२} + २\right) = ३२०$$ $$२^x \left(\frac{५}{२}\right) = ३२०$$
- आता दोन्ही बाजूंना $\frac{५}{२}$ ने भागू: $$२^x = ३२० \times \frac{२}{५} = ६४ \times २ = \mathbf{१२८}$$
- १२८ चा पाया २ मध्ये घातांक करू: $१२८ = २^७$. $$२^x = २^७ \implies \mathbf{x = ७}$$
उत्तर: $x$ चे मूल्य ७ आहे.
उदाहरण ३ (आवर्ती दशांश अपूर्णांकांची बेरीज):
प्रश्न: $०.\overline{६३} + ०.\overline{३७}$ ची किंमत किती?
उकल:
- शुद्ध आवर्तीचे व्यवहारी अपूर्णांकात रूपांतर करू: $$०.\overline{६३} = \frac{६३}{९९}$$ $$०.\overline{३७} = \frac{३७}{९९}$$
- छेद समान आहेत, म्हणून अंशांची बेरीज करू: $$\text{बेरीज} = \frac{६३ + ३७}{९९} = \mathbf{\frac{१००}{९९}} = \mathbf{१\frac{१}{९९}}$$
- दशांशात मांडल्यास $= \mathbf{१.\overline{०१}}$.
उत्तर: $\frac{१००}{९९}$ किंवा $१.\overline{०१}$.
उदाहरण ४ (करणी संमेयीकरण - TCS Pattern):
प्रश्न: जर $x = ७ - ४\sqrt{३}$ असेल, तर $x + \frac{१}{x}$ चे मूल्य काढा.
उकल:
- $\frac{१}{x}$ चे मूल्य काढण्यासाठी संमेयीकरण करू: $$\frac{१}{x} = \frac{१}{७ - ४\sqrt{३}} = \frac{१(७ + ४\sqrt{३})}{(७ - ४\sqrt{३})(७ + ४\sqrt{३})}$$
- छेदामध्ये $a^२ - b^२$ सूत्र: $$७^२ - (४\sqrt{३})^२ = ४९ - (१६ \times ३) = ४९ - ४८ = \mathbf{१}$$ $$\implies \frac{१}{x} = \mathbf{७ + ४\sqrt{३}}$$
- आता बेरीज करू: $$x + \frac{१}{x} = (७ - ४\sqrt{३}) + (७ + ४\sqrt{३}) = ७ + ७ = \mathbf{१४}$$.
उत्तर: $x + \frac{१}{x}$ चे मूल्य १४ आहे. (शॉर्टकट: जर घटकांच्या वर्गांतील फरक १ असेल ($४९ - ४८ = १$), तर $x + \frac{१}{x} = २ \times \text{पहिले पद} = २ \times ७ = \mathbf{१४}$!).
७. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे वन-लायनर्स
| क्र. | वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न / संकल्पना | अचूक उत्तर व स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | कोणत्याही संख्येचा शून्यवा घातांक ($a^०$) किती असतो? | नेहमी १ असतो ($a \neq ०$). |
| २ | पूर्ण वर्ग संख्येच्या एकक स्थानी खालीलपैकी कोणते अंक कधीही नसतात? | २, ३, ७ आणि ८ हे अंक कधीही नसतात. |
| ३ | $\frac{a^३ - b^३}{a^२ + ab + b^२}$ चे सरळ रूप काय? | $a - b$. |
| ४ | $\frac{a^३ + b^३}{a^२ - ab + b^२}$ चे सरळ रूप काय? | $a + b$. |
| ५ | $०.\bar{७}$ चे व्यवहारी अपूर्णांकातील रूप काय? | $\frac{७}{९}$. |
| ६ | $०.२\bar{३}$ चे व्यवहारी अपूर्णांकातील रूप काय? | $\frac{२३ - २}{९०} = \mathbf{\frac{२१}{९०} = \frac{७}{३०}}$. |
| ७ | ११ चा घन किती? | १,३३१. |
| ८ | १२ चा घन किती? | १,७२८. |
| ९ | $\sqrt{०.०९}$ चे मूल्य किती? | ०.३ (वर्गमूळात दशांश स्थळे निम्मी होतात). |
| १० | $\sqrt[३]{०.००००६४}$ चे मूल्य किती? | ०.०४ (घनमूळात दशांश स्थळे एक-तृतीयांश होतात: ६ स्थळे $\implies$ २ स्थळे). |
| ११ | $(०.२)^३$ चे मूल्य किती? | ०.००८ ($२^३ = ८$, ३ दशांश स्थळे). |
| १२ | $२५^२$ किती? | ६२५ ($२ \times ३ = ६$ आणि २५). |
| १३ | VBODMAS नियमात 'Of' (चे) चा अर्थ काय? | गुणाकार, परंतु हा भागाकाराच्या आधी सोडवला जातो. |
| १४ | $(-१)$ चा घातांक सम संख्या असल्यास उत्तर काय येते? | $+१$ ($(-१)^{सम} = १$; $(-१)^{विषम} = -१$). |
| १५ | $\frac{(a+b)^२ - (a-b)^२}{ab}$ चे कायमस्वरूपी मूल्य किती असते? | नेहमी ४ असते. |
८. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)
MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन गट ब):
प्रश्न: जर $\frac{\sqrt{२४} + \sqrt{२१६}}{\sqrt{९६}} = x$ असेल, तर $x$ चे मूल्य काय असेल?
(१) २
(२) $\sqrt{६}$
(३) $२\sqrt{६}$
(४) ३
उत्तर: (१) २
सखोल स्पष्टीकरण:
१. करणींचे अवयव पाडू:
• $\sqrt{२४} = \sqrt{४ \times ६} = २\sqrt{६}$
• $\sqrt{२१६} = \sqrt{३६ \times ६} = ६\sqrt{६}$
• $\sqrt{९६} = \sqrt{१६ \times ६} = ४\sqrt{६}$
२. अंशांची बेरीज: $२\sqrt{६} + ६\sqrt{६} = \mathbf{८\sqrt{६}}$.
३. आता भागाकार करू:
$$x = \frac{८\sqrt{६}}{४\sqrt{६}} = \frac{८}{४} = \mathbf{२}$$
म्हणून $x$ चे अचूक मूल्य २ आहे.
MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):
प्रश्न: जर $x = \sqrt{३ + \sqrt{३ + \sqrt{३ + ... \infty}}}$ असेल, तर खालीलपैकी कोणते विधान सत्य आहे?
(१) $x = ३$
(२) $x$ चे मूल्य २ आणि ३ च्या दरम्यान आहे
(३) $x$ चे मूल्य १ आणि २ च्या दरम्यान आहे
(४) $x$ चे मूल्य ३ पेक्षा मोठे आहे
उत्तर: (२) $x$ चे मूल्य २ आणि ३ च्या दरम्यान आहे
सखोल स्पष्टीकरण:
१. दोन्ही बाजूंचा वर्ग करू: $x^२ = ३ + x \implies x^२ - x - ३ = ०$.
२. वर्गसमीकरण सोडवण्याचे सूत्र: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^२ - ४ac}}{२a}$
येथे $a=१, b=-१, c=-३$:
$$x = \frac{-(-१) \pm \sqrt{(-१)^२ - ४(१)(-३)}}{२(१)} = \frac{१ + \sqrt{१ + १२}}{२} = \frac{१ + \sqrt{१३}}{२}$$
३. $\sqrt{१३}$ चे अंदाजे मूल्य $\approx ३.६$ आहे.
$$x \approx \frac{१ + ३.६}{२} = \frac{४.६}{२} = \mathbf{२.३}$$
४. $२.३$ हे मूल्य २ आणि ३ च्या दरम्यान येते. म्हणून पर्याय (२) बरोबर आहे.
MPSC सराव प्रश्न ३ (कम्बाइन गट क):
प्रश्न: खालीलपैकी सर्वात मोठी संख्या कोणती?
$$\sqrt[३]{४}, \quad \sqrt[४]{६}, \quad \sqrt[६]{१५}, \quad \sqrt[१२]{२४५}$$
(१) $\sqrt[३]{४}$
(२) $\sqrt[४]{६}$
(३) $\sqrt[६]{१५}$
(४) $\sqrt[१२]{२४५}$
उत्तर: (१) $\sqrt[३]{४}$
सखोल स्पष्टीकरण:
१. सर्व करणींचा कोटी (Order: ३, ४, ६, १२) समान करू. ३, ४, ६ आणि १२ चा लसावि $= \mathbf{१२}$ आहे.
२. सर्वांना १२ व्या कोटीत रूपांतरित करू:
• $\sqrt[३]{४} = \sqrt[१२]{४^४} = \sqrt[१२]{२५६}$
• $\sqrt[४]{६} = \sqrt[१२]{६^३} = \sqrt[१२]{२१६}$
• $\sqrt[६]{१५} = \sqrt[१२]{१५^२} = \sqrt[१२]{२२५}$
• $\sqrt[१२]{२४५} = \sqrt[१२]{२४५}$
३. आता करणीस्थ संख्यांची तुलना करू: २५६, २१६, २२५ आणि २४५.
यांपैकी २५६ ही सर्वात मोठी संख्या आहे, जी $\sqrt[३]{४}$ चे मूल्य दर्शवते.
म्हणून सर्वात मोठी संख्या $\sqrt[३]{४}$ आहे.
पदावली, सरलीकरण (VBODMAS), घातांक व करणी सराव चाचणी ०२
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.