काळ, काम आणि मजूर (Time & Work) व नळ आणि पाण्याची टाकी (Pipes & Cisterns) - शॉर्टकट सूत्रे व उदाहरणे

१. काळ, काम आणि मजूर (Time & Work): मूलभूत संकल्पना व कार्यक्षमता

काम आणि काळ या व्यस्त प्रमाणात बदलणाऱ्या राशी आहेत. व्यक्तींची संख्या किंवा कार्यक्षमता वाढल्यास काम पूर्ण होण्यासाठी लागणारा वेळ कमी होतो. स्पर्धा परीक्षेत किचकट अपूर्णांक पद्धतीऐवजी लसावि कार्यक्षमता पद्धत (LCM / Total Work Method) सर्वात अचूक आणि जलद ठरते.

लसावि पद्धतीचे मूळ तत्त्व:
• दिलेल्या दिवसांचा लसावि म्हणजेच 'एकूण काम (Total Units of Work)' मानले जाते.
• एका दिवसात केलेले काम म्हणजेच त्या व्यक्तीची 'कार्यक्षमता (Daily Efficiency)' होय: $$\mathbf{\text{कार्यक्षमता (Units/Day)} = \frac{\text{एकूण काम (Total LCM Units)}}{\text{लागणारे एकूण दिवस}}}$$

२. काम, काळ व नळ-टाकी मास्टर सूत्रे (Master Formulae Table)

३. सविस्तर सोडवलेली आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Problems)

उदाहरण १ (Basic - लसावि पद्धतीने एकत्र काम):

प्रश्न: $A$ एक काम १२ दिवसांत पूर्ण करतो आणि $B$ तेच काम २४ दिवसांत पूर्ण करतो. तर दोघे मिळून ते काम किती दिवसांत पूर्ण करतील?

उकल (सुपरफास्ट LCM पद्धत):

1. १२ आणि २४ चा लसावि काढू $= \mathbf{२४ \text{ युनिट्स}}$ (हे आपले 'एकूण काम' आहे).
2. प्रत्येकाची १ दिवसाची कार्यक्षमता:
   • $A$ ची कार्यक्षमता $= २४ \div १२ = \mathbf{२ \text{ युनिट्स/दिवस}}$
   • $B$ ची कार्यक्षमता $= २४ \div २४ = \mathbf{१ \text{ युनिट/दिवस}}$
3. दोघांची एकत्रित कार्यक्षमता $= २ + १ = \mathbf{३ \text{ युनिट्स/दिवस}}$.
4. दोघांना लागणारे एकूण दिवस: $$\text{एकूण दिवस} = \frac{\text{एकूण काम}}{\text{एकत्रित कार्यक्षमता}} = \frac{२४}{३} = \mathbf{८ \text{ दिवस}}$$

उत्तर: दोघे मिळून ते काम ८ दिवसांत पूर्ण करतील.

उदाहरण २ (काम अर्धवट सोडणे - Leaving Midway):

प्रश्न: $A$ एक काम १५ दिवसांत आणि $B$ तेच काम २० दिवसांत पूर्ण करू शकतो. दोघांनी एकत्र काम सुरू केले, परंतु काम सुरू झाल्याच्या ४ दिवसांनंतर $A$ काम सोडून निघून गेला. तर उरलेले काम पूर्ण करण्यासाठी $B$ ला एकट्याला आणखी किती दिवस लागतील?

उकल:

1. १५ आणि २० चा लसावि $= \mathbf{६० \text{ युनिट्स}}$ (एकूण काम).
2. कार्यक्षमता:
   • $A = ६० \div १५ = \mathbf{४ \text{ युनिट्स/दिवस}}$
   • $B = ६० \div २० = \mathbf{३ \text{ युनिट्स/दिवस}}$
   • दोघांची एकत्र कार्यक्षमता $= ४ + ३ = \mathbf{७ \text{ युनिट्स/दिवस}}$.
3. दोघांनी पहिल्या ४ दिवसांत केलेले काम: $$\text{काम} = ४ \text{ दिवस} \times ७ = \mathbf{२८ \text{ युनिट्स}}$$
4. उरलेले शिल्लक काम $= ६० - २८ = \mathbf{३२ \text{ युनिट्स}}$.
5. आता $A$ गेला, उरलेले ३२ युनिट्स काम $B$ एकटा करणार आहे: $$\text{वेळ} = \frac{३२}{३} = \mathbf{१०\frac{२}{३} \text{ दिवस}}$$

उत्तर: $B$ ला उरलेले काम पूर्ण करण्यास आणखी $१०\frac{२}{३}$ दिवस (१० दिवस १६ तास) लागतील.

उदाहरण ३ (MDH सुवर्ण सूत्र उपयोजन):

प्रश्न: १८ मजूर रोज ७ तास काम करून एक रस्ता १६ दिवसांत तयार करतात. तर तेच काम रोज ८ तास काम करून १२ दिवसांत पूर्ण करण्यासाठी किती मजूर लागतील?

उकल:

1. सूत्र: $M_१ \times D_१ \times H_१ = M_२ \times D_२ \times H_२$ (काम समान आहे).
2. दिलेली माहिती: $M_१ = १८, D_१ = १६, H_१ = ७$; $M_२ = ?, D_२ = १२, H_२ = ८$.
3. $$१८ \times १६ \times ७ = M_२ \times १२ \times ८$$
4. $$M_२ = \frac{१८ \times १६ \times ७}{१२ \times ८} = \frac{१८ \times २ \times ७}{१२} = \frac{३६ \times ७}{१२} = ३ \times ७ = \mathbf{२१ \text{ मजूर}}$$

उत्तर: ते काम वेळेत पूर्ण करण्यासाठी एकूण २१ मजूर लागतील.

उदाहरण ४ (नळ व पाण्याची टाकी - गळतीचे उदाहरण):

प्रश्न: एका नळाने पाण्याची एक टाकी ६ तासांत पूर्ण भरते. परंतु पाण्याच्या टाकीला खाली गळती (छिद्र) असल्यामुळे टाकी भरण्यासाठी ८ तास लागतात. जर टाकी पूर्ण भरलेली असेल, तर त्या गळतीमुळे ती टाकी किती तासांत पूर्ण रिकामी होईल?

उकल:

1. थेट शॉर्टकट सूत्र: $$\text{रिकामी होण्याची वेळ} = \frac{x \times y}{y - x}$$
2. येथे $x = ६ \text{ तास}$ (नळ) आणि $y = ८ \text{ तास}$ (नळ + गळती). $$\text{वेळ} = \frac{६ \times ८}{८ - ६} = \frac{४८}{२} = \mathbf{२४ \text{ तास}}$$

उत्तर: गळतीमुळे पूर्ण भरलेली टाकी २४ तासांत पूर्ण रिकामी होईल.

४. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे वन-लायनर्स

५. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)

MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन गट ब):

प्रश्न: $A$ ची कार्यक्षमता $B$ पेक्षा ५०% जास्त आहे. जर $B$ एकटा एक काम २० दिवसांत पूर्ण करत असेल, तर दोघे मिळून तेच काम किती दिवसांत पूर्ण करतील?
(१) ६ दिवस
(२) ८ दिवस
(३) १० दिवस
(४) १२ दिवस

उत्तर: (२) ८ दिवस
सखोल स्पष्टीकरण:
१. कार्यक्षमतेचे गुणोत्तर काढू: $B$ ची कार्यक्षमता $= १००$ मानू.
$A$ ची कार्यक्षमता $= १०० + ५० = १५०$.
$$\frac{\text{Efficiency of } A}{\text{Efficiency of } B} = \frac{१५०}{१००} = \frac{३}{२}$$ २. $B$ रोज २ युनिट्स काम करतो आणि त्याला २० दिवस लागतात:
$$\text{एकूण काम} = \text{दिवस} \times \text{कार्यक्षमता} = २० \times २ = \mathbf{४० \text{ युनिट्स}}$$
३. दोघे मिळून एका दिवसात किती काम करतील $= ३ + २ = \mathbf{५ \text{ युनिट्स/दिवस}}$.
४. दोघांना मिळून लागणारे दिवस: $$\text{एकूण दिवस} = \frac{४०}{५} = \mathbf{८ \text{ दिवस}}$$ म्हणून दोघे मिळून ते काम ८ दिवसांत पूर्ण करतील.

MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):

प्रश्न: ३ पुरुष किंवा ५ महिला एक काम ४३ दिवसांत पूर्ण करू शकतात. तर ५ पुरुष आणि ६ महिला मिळून तेच काम किती दिवसांत पूर्ण करतील?
(१) १२ दिवस
(२) १५ दिवस
(३) १८ दिवस
(४) २४ दिवस

उत्तर: (२) १५ दिवस
सखोल स्पष्टीकरण:
१. सममूल्यता: $३ \text{ पुरुष (M)} = ५ \text{ महिला (W)} \implies १ \text{ M} = \frac{५}{३} \text{ W}$.
२. आता विचारलेला गट महिलांमध्ये रूपांतरित करू:
$$५ \text{ M} + ६ \text{ W} = ५\left(\frac{५}{३}\right) + ६ = \frac{२५}{३} + ६ = \frac{२५ + १८}{३} = \mathbf{\frac{४३}{३} \text{ महिला}}$$
३. आता सूत्र लावू: $M_१ \times D_१ = M_२ \times D_२$
येथे $५$ महिलांना ४३ दिवस लागतात ($M_१ = ५, D_१ = ४३$).
$$५ \times ४३ = \left(\frac{४३}{३}\right) \times D_२$$ $$D_२ = \frac{५ \times ४३ \times ३}{४३} = ५ \times ३ = \mathbf{१५ \text{ दिवस}}$$ म्हणून ५ पुरुष आणि ६ महिला मिळून ते काम १५ दिवसांत पूर्ण करतील.