संख्यांचे प्रकार (नैसर्गिक, सम, विषम, मूळ, जोडमूळ, सहमूळ, त्रिकोणी संख्या) व विभाज्यतेच्या कसोट्या (Divisibility Rules)
संख्यांचे प्रकार (नैसर्गिक, सम, विषम, मूळ, जोडमूळ, सहमूळ, त्रिकोणी संख्या) व विभाज्यतेच्या कसोट्या (Divisibility Rules) या घटकामध्ये उदाहरण १, उदाहरण २, पूर्ण संख्या (Whole Numbers - $W$): या मुद्द्यांचा सविस्तर समावेश आहे.
१. संख्यांचे प्रकार, व्याख्या व मूलभूत गुणधर्म (Classification of Numbers)
संख्याज्ञान हा संपूर्ण अंकगणिताचा पाया (Foundation) आहे. स्पर्धा परीक्षांमध्ये संख्यांचे वर्गीकरण, त्यांचे परस्परांमधील संबंध आणि गुणधर्मांवर थेट प्रश्न विचारले जातात.
| संख्या प्रकार (Number Type) | व्याख्या व संकल्पना | महत्त्वाचे गुणधर्म व उदाहरणे |
|---|---|---|
| नैसर्गिक संख्या (Natural Numbers - $N$) | वस्तू मोजण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या सर्व धन पूर्णांकांना नैसर्गिक संख्या (मोजसंख्या) म्हणतात. | $N = \{१, २, ३, ४, ५, ...\}$ • सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या = १ • सर्वात मोठी नैसर्गिक संख्या सांगता येत नाही (अनंत). |
| पूर्ण संख्या (Whole Numbers - $W$) | नैसर्गिक संख्यांच्या समूहात शून्य (०) समाविष्ट केल्यास पूर्ण संख्यांचा समूह मिळतो. | $W = \{०, १, २, ३, ४, ...\}$ • सर्वात लहान पूर्ण संख्या = ० • प्रत्येक नैसर्गिक संख्या ही पूर्ण संख्या असते, परंतु प्रत्येक पूर्ण संख्या ही नैसर्गिक संख्या नसते. |
| पूर्णांक संख्या (Integers - $\mathbb{Z}$ / $Z$) | सर्व ऋण संख्या, शून्य आणि सर्व धन संख्या मिळून पूर्णांक संख्यांचा समूह बनतो. | $Z = \{..., -३, -२, -१, ०, १, २, ३, ...\}$ • शून्य हा धनही नाही आणि ऋणही नाही (उदासीन पूर्णांक). • कोणत्याही ऋण संख्येपेक्षा शून्य नेहमी मोठा असतो (उदा. $० > -५$). |
| परिमेय संख्या (Rational Numbers - $Q$) | जी संख्या $\frac{p}{q}$ स्वरूपात लिहिता येते, जेथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक असून $q \neq ०$ असतो. | उदा. $\frac{३}{४}, -\frac{५}{७}, ८$ ($= \frac{८}{१}$), $०$ ($= \frac{०}{१}$), $०.७५$ ($= \frac{३}{४}$), $०.\bar{३}$ ($= \frac{१}{३}$). • दशांश रूप खंडित किंवा अखंड आवर्ती असते. |
| अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers) | जी संख्या $\frac{p}{q}$ स्वरूपात मांडता येत नाही, जिचे दशांश रूप अखंड अनावर्ती (Non-terminating, Non-repeating) असते. | उदा. $\sqrt{२}, \sqrt{३}, \sqrt{५}, \pi$ (पाय). • टीप: $\frac{२२}{७}$ ही परिमेय संख्या आहे, परंतु प्रत्यक्ष $\pi$ ही अपरिमेय संख्या आहे! |
| वास्तव संख्या (Real Numbers - $R$) | सर्व परिमेय आणि अपरिमेय संख्या मिळून वास्तव संख्यांचा समूह तयार होतो. | संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू एक वास्तव संख्या दर्शवितो. |
| सम संख्या (Even Numbers) | ज्या संख्येला २ ने नि:शेष भाग जातो किंवा एकक स्थानी ०, २, ४, ६, ८ हे अंक असतात. | उदा. २, ४, ६, ८, १०, ... • दोन क्रमवार सम संख्यांमध्ये २ चा फरक असतो. • महत्त्वाची परीक्षा नोंद (संख्या संच व सम/विषम मर्यादा): • धन नैसर्गिक संख्यांमध्ये ($\mathbb{N}$): सर्वात लहान सम नैसर्गिक संख्या $= २$, सर्वात लहान विषम नैसर्गिक संख्या $= १$. • पूर्ण संख्यांमध्ये ($\mathbb{W}$): सर्वात लहान सम पूर्ण संख्या $= ०$ (कारण $० = २ \times ०$ असल्याने ० ही सम संख्या आहे). • पूर्णांकांच्या संचात ($\mathbb{Z}$): ऋण संख्या डावीकडे अनंत असल्याने सर्वात लहान सम किंवा विषम पूर्णांक अस्तित्वात नसतो. |
| विषम संख्या (Odd Numbers) | ज्या संख्येला २ ने भागल्यास बाकी १ उरते किंवा एकक स्थानी १, ३, ५, ७, ९ हे अंक असतात. | उदा. १, ३, ५, ७, ९, ... • दोन क्रमवार विषम संख्यांमध्ये २ चा फरक असतो. • सर्वात लहान विषम संख्या = १. |
| मूळ संख्या (Prime Numbers) | ज्या संख्येला केवळ १ ने आणि त्याच संख्येने भाग जातो (फक्त २ च विभाजक असतात). | उदा. २, ३, ५, ७, ११, १३, १७, ... • १ ही मूळही नाही आणि संयुक्तही नाही. • २ ही एकमेव सम मूळ संख्या (Even Prime Number) आहे. • १ ते १०० दरम्यान एकूण २५ मूळ संख्या आहेत (बेरीज = १०६०). |
| जोडमूळ संख्या (Twin Primes) | ज्या दोन मूळ संख्यांमध्ये २ चा फरक असतो, त्यांना जोडमूळ संख्या म्हणतात. | १ ते १०० दरम्यान जोडमूळ संख्यांच्या एकूण ८ जोड्या आहेत: (३, ५), (५, ७), (११, १३), (१७, १९), (२९, ३१), (४१, ४३), (५९, ६१), (७१, ७३). |
| सहमूळ / सापेक्ष मूळ संख्या (Co-prime Numbers) | ज्या दोन संख्यांमध्ये '१' व्यतिरिक्त एकही सामाईक विभाजक नसतो (त्यांचा मसावि नेहमी १ असतो). | उदा. (८, ९), (१५, १६), (२१, २५). • दोन संख्या सहमूळ असण्यासाठी त्या स्वतः मूळ असणे गरजेचे नसते (८ व ९ दोन्ही संयुक्त आहेत, तरी त्या सहमूळ आहेत). • कोणत्याही दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्या नेहमी सहमूळ असतात. |
| संयुक्त संख्या (Composite Numbers) | ज्या संख्येचे २ पेक्षा जास्त विभाजक असतात. | उदा. ४, ६, ८, ९, १०, १२, ... • सर्वात लहान संयुक्त संख्या = ४. • सर्वात लहान विषम संयुक्त संख्या = ९. • १ ते १०० दरम्यान एकूण ७४ संयुक्त संख्या आहेत (१ वगळून: १०० - २५ मूळ - १ = ७४). |
| त्रिकोणी संख्या (Triangular Numbers) | दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांच्या गुणाकाराच्या निमपटीस त्रिकोणी संख्या म्हणतात. सूत्र: $\frac{n(n+१)}{२}$ | पाय $n=१ \implies १$; $n=२ \implies ३$; $n=३ \implies ६$; $n=४ \implies १०$; $n=५ \implies १५$; $n=६ \implies २१$. • कोणत्याही दोन लगतच्या त्रिकोणी संख्यांची बेरीज ही एक पूर्ण वर्ग संख्या असते (उदा. ३ + ६ = ९ = $३^२$, ६ + १० = १६ = $४^२$). |
| परिपूर्ण संख्या (Perfect Numbers) | ज्या संख्येच्या सर्व विभाजकांची (ती संख्या वगळून) बेरीज त्या संख्येइतकीच येते. | उदा. ६ (विभाजक: १, २, ३ $\rightarrow$ बेरीज $१+२+३ = ६$) उदा. २८ (विभाजक: १, २, ४, ७, १४ $\rightarrow$ बेरीज = २८) • पहिल्या चार परिपूर्ण संख्या: ६, २८, ४९६, ८१२८. |
२. १ ते १०० मधील मूळ संख्यांची रचना व लक्षात ठेवण्याची ट्रिक
१ ते १०० पर्यंत एकूण २५ मूळ संख्या असून त्यांची एकूण बेरीज १,०६० आहे. स्पर्धा परीक्षेत यावर वारंवार प्रश्न येतात.
| दशक गट (Range) | मूळ संख्या (Prime Numbers) | संख्या संख्या | मोबाइल कोड (Trick) |
|---|---|---|---|
| १ ते १० | २, ३, ५, ७ | ४ | ४ |
| ११ ते २० | ११, १३, १७, १९ | ४ | ४ |
| २१ ते ३० | २३, २९ | २ | २ |
| ३१ ते ४० | ३१, ३७ | २ | २ |
| ४१ ते ५० | ४१, ४३, ४७ | ३ | ३ |
| ५१ ते ६० | ५३, ५९ | २ | २ |
| ६१ ते ७० | ६१, ६७ | २ | २ |
| ७१ ते ८० | ७१, ७३, ७९ | ३ | ३ |
| ८१ ते ९० | ८३, ८९ | २ | २ |
| ९१ ते १०० | ९७ (एकमेव मूळ संख्या) | १ | १ |
| एकूण (१ ते १००) | २५ मूळ संख्या (एकूण बेरीज = १०६०) | २५ | कोड: 44 22 322 321 |
दिलेली मोठी संख्या मूळ संख्या आहे की नाही हे तपासण्याची पद्धत:
- दिलेल्या संख्येच्या ($N$) लगतची मोठी पूर्ण वर्ग संख्या शोधा. समजा ती संख्या $x^२$ आहे, तर $x$ शोधा.
- $x$ पेक्षा लहान असणाऱ्या सर्व मूळ संख्यांनी $N$ ला भाग जातो का ते तपासा.
- जर एकाही मूळ संख्येने भाग गेला नाही, तर $N$ ही मूळ संख्या असते; अन्यथा ती संयुक्त असते.
- उदा. १९७ मूळ आहे का? $१४^२ = १९६$ आणि $१५^२ = २२५$. १५ पेक्षा लहान मूळ संख्या: २, ३, ५, ७, ११, १३. यांपैकी कशानेही १९७ ला भाग जात नाही. म्हणून १९७ ही मूळ संख्या आहे.
३. महत्त्वाच्या विभाज्यतेच्या कसोट्या (Divisibility Tests Master Table)
| भाजक (Divisor) | कसोटीचा नियम (Divisibility Rule) | उदाहरणे व पडताळणी |
|---|---|---|
| २ ची कसोटी | संख्येच्या एकक स्थानी ०, २, ४, ६, ८ यांपैकी कोणताही सम अंक असावा. | उदा. ४,५७८ (एकक स्थानी ८ $\implies$ २ ने विभाज्य). |
| ३ ची कसोटी | संख्येतील सर्व अंकांच्या बेरजेला ३ ने नि:शेष भाग गेल्यास त्या संख्येला ३ ने भाग जातो. | उदा. ७,५१२ $\rightarrow$ $७+५+१+२ = १५$. १५ ला ३ ने भाग जातो, म्हणून ७,५१२ ला भाग जातो. |
| ४ ची कसोटी | संख्येच्या शेवटच्या दोन अंकांनी (दशक व एकक) बनणाऱ्या संख्येला ४ ने भाग गेल्यास किंवा शेवटी दोन शून्ये (००) असल्यास. | उदा. ९,३२४ ($२४/४ = ६ \implies$ भाग जातो); ५,७०० (शेवटी ००). |
| ५ ची कसोटी | संख्येच्या एकक स्थानी ० किंवा ५ हा अंक असावा. | उदा. ८,४९५, १२,३८०. |
| ६ ची कसोटी | संख्येला २ आणि ३ या दोन्हीने एकाच वेळी भाग गेल्यास (म्हणजेच ती सम संख्या असावी आणि अंकांची बेरीज ३ च्या पटीत असावी). | उदा. ४,१३४ (शेवटी ४ सम आहे; बेरीज $४+१+३+४ = १२$ ला ३ ने भाग जातो $\implies$ ६ ने भाग जातो). |
| ७ ची कसोटी | संख्येच्या एकक स्थानातील अंकाची दुप्पट करून ती उर्वरित संख्येतून वजा करावी. येणाऱ्या वजाबाकीला ७ ने भाग गेल्यास मूळ संख्येला भाग जातो. | उदा. ३४३ $\rightarrow$ एकक अंक ३ ची दुप्पट = ६. उर्वरित संख्या ३४ मधून ६ वजा केले: $३४ - ६ = २८$. २८ ला ७ ने भाग जातो ($२८/७ = ४$), म्हणून ३४३ ला ७ ने भाग जातो. |
| ८ ची कसोटी | संख्येच्या शेवटच्या तीन अंकांनी (शतक, दशक, एकक) बनणाऱ्या संख्येला ८ ने भाग गेल्यास किंवा शेवटी तीन शून्ये (०००) असल्यास. | उदा. ५४,१२८ ($१२८/८ = १६ \implies$ भाग जातो); ६,०००. |
| ९ ची कसोटी | संख्येतील सर्व अंकांच्या बेरजेला ९ ने नि:शेष भाग गेल्यास त्या संख्येला ९ ने भाग जातो. | उदा. ९,८४६ $\rightarrow$ $९+८+४+६ = २७$. २७ ला ९ ने भाग जातो, म्हणून ९,८४६ ला भाग जातो. |
| १० ची कसोटी | संख्येच्या एकक स्थानी ० हाच अंक असावा. | उदा. ७,४५०, १,२३,०००. |
| ११ ची कसोटी | संख्येतील विषम स्थानावरील अंकांची बेरीज आणि सम स्थानावरील अंकांची बेरीज यांमधील फरक ० किंवा ११ च्या पटीत (११, २२, ३३...) असावा. | उदा. ८,४९,२७७ $\rightarrow$ विषम स्थाने ($८+९+७ = २४$), सम स्थाने ($४+२+७ = १३$). फरक $= २४ - १३ = ११$. म्हणून ८,४९,२७७ ला ११ ने भाग जातो. |
| १२ ची कसोटी | संख्येला ३ आणि ४ या दोन्ही सहमूळ संख्यांनी भाग गेल्यास. | उदा. १,७२८ (शेवटी २८ ला ४ ने भाग जातो; बेरीज $१+७+२+८=१८$ ला ३ ने भाग जातो $\implies$ १२ ने भाग जातो). |
| १५ ची कसोटी | संख्येला ३ आणि ५ या दोन्हीने भाग गेल्यास (शेवटी ० किंवा ५ असावा आणि अंकांची बेरीज ३ च्या पटीत असावी). | उदा. २,३२५ (शेवटी ५ आहे; बेरीज $२+३+२+५=१२$ ला ३ ने भाग जातो). |
| ७२ ची कसोटी | संख्येला ८ आणि ९ या दोन्ही सहमूळ संख्यांनी भाग गेल्यास. (TCS-IBPS चा आवडता प्रश्न प्रकार). | शेवटच्या ३ अंकांना ८ ने आणि सर्व अंकांच्या बेरजेला ९ ने भाग जावा. |
| ८८ ची कसोटी | संख्येला ८ आणि ११ या दोन्ही संख्यांनी भाग गेल्यास. | शेवटचे ३ अंक ८ ने विभाज्य आणि विषम-सम स्थानांतील फरक ० किंवा ११ चा पट असावा. |
४. संख्यांच्या बेरजेची व घातांकाची मूलभूत सूत्रे (Master Formulae)
| घटक (Concept) | प्रमाणित गणिती सूत्र | स्पष्टीकरण व उदाहरण |
|---|---|---|
| पहिल्या $n$ नैसर्गिक संख्यांची बेरीज | $$S_n = \frac{n(n+१)}{२}$$ | उदा. १ ते २० बेरीज $= \frac{२० \times २१}{२} = २१०$. |
| पहिल्या $n$ सम संख्यांची बेरीज | $$S_{even} = n(n+१)$$ | उदा. पहिल्या १० सम संख्यांची बेरीज $= १० \times ११ = ११०$. |
| पहिल्या $n$ विषम संख्यांची बेरीज | $$S_{odd} = n^२$$ | उदा. पहिल्या १५ विषम संख्यांची बेरीज $= १५^२ = २२५$. |
| पहिल्या $n$ संख्यांच्या वर्गांची बेरीज | $$\sum n^२ = \frac{n(n+१)(२n+१)}{६}$$ | उदा. $१^२ + २^२ + ... + १०^२ = \frac{१० \times ११ \times २१}{६} = ३८५$. |
| पहिल्या $n$ संख्यांच्या घनांची बेरीज | $$\sum n^३ = \left[\frac{n(n+१)}{२}\right]^२$$ | उदा. $१^३ + २^३ + ... + १०^३ = (५५)^२ = ३,०२५$. |
| त्रिकोणी संख्येचा पाया शोधणे | $$\text{पाया} = \sqrt{\text{त्रिकोणी संख्या} \times २} \text{ च्या लगतचा लहान पूर्णांक}$$ | उदा. ५५ चा पाया $= \sqrt{५५ \times २} = \sqrt{११०} \approx १०$. ($n=१०$). |
| एकक स्थानचा अंक शोधणे (Unit Digit Cyclicity) | • ०, १, ५, ६ चा घातांक कितीही असला तरी एकक स्थानी तोच अंक येतो. • ४ आणि ९ ची सायकल २ ची असते. • २, ३, ७, ८ ची सायकल ४ ची असते (घातांकाला ४ ने भागून बाकी वापरावी). |
उदा. $७^{१०५} \rightarrow १०५ \div ४$ बाकी = १ $\implies ७^१ = \mathbf{७}$. |
५. सविस्तर सोडवलेली आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Problems)
उदाहरण १ (Basic): नैसर्गिक संख्यांची मधोमध बेरीज
प्रश्न: २१ ते ५० पर्यंतच्या सर्व नैसर्गिक संख्यांची एकूण बेरीज किती?
पद्धत १ (पारंपारिक पायऱ्या):
- १ ते ५० पर्यंतच्या संख्यांची बेरीज काढू ($n=५०$): $$S_{५०} = \frac{५० \times ५१}{२} = २५ \times ५१ = १,२७५$$
- १ ते २० पर्यंतच्या संख्यांची बेरीज काढू ($n=२०$): $$S_{२०} = \frac{२० \times २१}{२} = १० \times २१ = २१०$$
- २१ ते ५० बेरीज $= S_{५०} - S_{२०} = १,२७५ - २१० = \mathbf{१,०६५}$.
पद्धत २ (शॉर्टकट सूत्र):
$$\text{बेरीज} = \frac{(\text{पहिली संख्या} + \text{शेवटची संख्या})}{२} \times \text{एकूण संख्या}$$
येथे एकूण संख्या $= (५० - २१) + १ = ३०$.
$$\text{बेरीज} = \frac{(२१ + ५०)}{२} \times ३० = \frac{७१}{२} \times ३० = ७१ \times १५ = \mathbf{१,०६५}$$.
उत्तर: २१ ते ५० पर्यंतच्या संख्यांची बेरीज १,०६५ आहे.
उदाहरण २ (Divisibility with Unknown Digits - TCS/IBPS Pattern):
प्रश्न: जर $७$ अंकी संख्या $५४३२y१८$ ला ९ ने नि:शेष भाग जात असेल, तर '$y$' ची किंमत किती?
उकल:
- ९ च्या कसोटीनुसार, संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज ९ च्या पटीत असावी.
- अंकांची बेरीज $= ५ + ४ + ३ + २ + y + १ + ८ = २३ + y$.
- २३ च्या पुढील ९ च्या पटीतील लगतची संख्या २७ आहे ($९ \times ३ = २७$).
- $$२३ + y = २७ \implies y = २७ - २३ \implies \mathbf{y = ४}$$.
उत्तर: $y$ ची किंमत ४ आहे. (संख्या: ५४,३२,४१८; बेरीज $= २७$).
उदाहरण ३ (Advanced Exam Level - ७२ ची कसोटी):
प्रश्न: जर ९ अंकी संख्या $८३P९३६७८Q$ ला ७२ ने पूर्ण भाग जात असेल, तर $(३P + २Q)$ चे मूल्य काय असेल? (येथे $P$ व $Q$ नैसर्गिक अंक आहेत).
उकल:
- $७२ = ८ \times ९$ (८ आणि ९ सहमूळ आहेत). म्हणून या संख्येला ८ आणि ९ या दोन्हीने भाग गेला पाहिजे.
- ८ ची कसोटी (शेवटचे ३ अंक): शेवटचे तीन अंक '$७८Q$' आहेत.
$७८Q \div ८ \implies ७८ \div ८ = ९$ बाकी ६ उरते.
आता $६Q$ ला ८ ने भाग जाण्यासाठी $Q = ४$ असावा लागतो (कारण $८ \times ८ = ६४$).
म्हणून $\mathbf{Q = ४}$. - ९ ची कसोटी (अंकांची बेरीज): आता संख्या $८३P९३६७८४$ झाली.
अंकांची बेरीज $= ८ + ३ + P + ९ + ३ + ६ + ७ + ८ + ४ = ४८ + P$.
४८ च्या पुढील ९ चा पाढा $= ५४$ ($९ \times ६ = ५४$).
$$४८ + P = ५४ \implies P = ५४ - ४८ \implies \mathbf{P = ६}$$. - आता विचारलेले मूल्य काढू:
$$३P + २Q = ३(६) + २(४) = १८ + ८ = \mathbf{२६}$$.
उत्तर: $(३P + २Q)$ चे मूल्य २६ आहे.
उदाहरण ४ (Triangular Numbers):
प्रश्न: एका त्रिकोणी संख्येचा पाया १२ आहे, तर त्यापुढील चौथी त्रिकोणी संख्या कोणती?
उकल:
- दिलेल्या त्रिकोणी संख्येचा पाया $= १२$.
- त्यापुढील चौथी त्रिकोणी संख्या हवी आहे, म्हणून नवीन पाया $= १२ + ४ = \mathbf{१६}$ होईल.
- पाया $n=१६$ असणारी त्रिकोणी संख्या: $$\text{त्रिकोणी संख्या} = \frac{n(n+१)}{२} = \frac{१६ \times १७}{२} = ८ \times १७ = \mathbf{१३६}$$
उत्तर: त्यापुढील चौथी त्रिकोणी संख्या १३६ आहे.
उदाहरण ५ (Unit Digit Determination):
प्रश्न: $(२१३७)^{७५३} \times (५६२)^{२४५}$ या गुणाकाराच्या एकक स्थानी कोणता अंक येईल?
उकल:
- भाग १: $(२१३७)^{७५३}$ चा एकक अंक:
मूळ एकक अंक = ७. ७ ची सायकल ४ ची असते.
घातांक ७५३ च्या शेवटच्या २ अंकांना ४ ने भागू: $५३ \div ४ = १३$ (बाकी = १).
$\implies ७^१ = \mathbf{७}$. - भाग २: $(५६२)^{२४५}$ चा एकक अंक:
मूळ एकक अंक = २. २ ची सायकल ४ ची असते.
घातांक २४५ चे शेवटचे दोन अंक ४५: $४५ \div ४ = ११$ (बाकी = १).
$\implies २^१ = \mathbf{२}$. - एकूण एकक अंक:
$$७ \times २ = १४ \implies \text{एकक स्थानी अंक} = \mathbf{४}$$.
उत्तर: या गुणाकाराच्या एकक स्थानी ४ हा अंक येईल.
६. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे वन-लायनर्स
| क्र. | वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न / संकल्पना | अचूक उत्तर व स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | सर्वात लहान मूळ संख्या कोणती? | २ (आणि ही एकमेव 'सम' मूळ संख्या आहे). |
| २ | १ ते ५० दरम्यान एकूण किती मूळ संख्या आहेत? | १५ (त्यांची बेरीज = ३२८). |
| ३ | ५१ ते १०० दरम्यान एकूण किती मूळ संख्या आहेत? | १० (त्यांची बेरीज = ७३२). |
| ४ | १ ते १०० दरम्यान एकूण मूळ संख्या व त्यांची बेरीज किती? | एकूण २५ मूळ संख्या, एकूण बेरीज = १०६०. |
| ५ | १ ते १०० मधील जोडमूळ संख्यांच्या एकूण जोड्या किती? | ८ जोड्या (फरक २ असणाऱ्या मूळ जोड्या). |
| ६ | १ ही संख्या कोणत्या प्रकारात मोडते? | १ ही मूळही नाही आणि संयुक्त संख्याही नाही (विशिष्ट संख्या). |
| ७ | सर्वात लहान संयुक्त संख्या (Composite Number) कोणती? | ४. |
| ८ | सर्वात लहान विषम संयुक्त संख्या कोणती? | ९ (विभाजक: १, ३, ९). |
| ९ | कोणत्याही दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांचा मसावि नेहमी किती असतो? | नेहमी १ असतो (कारण त्या सहमूळ असतात). |
| १० | दोन क्रमवार सम संख्यांचा मसावि नेहमी किती असतो? | नेहमी २ असतो. |
| ११ | पहिल्या १० नैसर्गिक संख्यांची बेरीज किती? | ५५ ($\frac{१० \times ११}{२}$). |
| १२ | पहिल्या १० सम संख्यांची बेरीज किती? | ११० ($१० \times ११$). |
| १३ | पहिल्या १० विषम संख्यांची बेरीज किती? | १०० ($१०^२$). |
| १४ | पायथागोरस त्रिकुटातील सर्वात मूलभूत त्रिकूट कोणते? | ३, ४, ५ ($३^२ + ४^२ = ५^२ \implies ९ + १६ = २५$). |
| १५ | पहिली परिपूर्ण संख्या (Perfect Number) कोणती? | ६ (त्यानंतर २८, ४९६, ८१२८). |
| १६ | १ ते १०० मधील अशी कोणती संख्या आहे जिचे सर्व विभाजक विषम आहेत? | सर्व पूर्ण वर्ग संख्यांचे विषम संख्येत विभाजक असतात (उदा. १, ४, ९, १६, २५, ३६...). |
७. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)
MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन गट ब):
प्रश्न: खालील विधानांचा विचार करा व योग्य पर्याय निवडा:
अ) सर्व मूळ संख्या विषम असतात.
ब) दोन मूळ संख्यांचा गुणाकार नेहमी विषम संख्याच असतो.
क) कोणत्याही दोन मूळ संख्यांचा सामाईक विभाजक केवळ १ असतो.
पर्याय:
(१) केवळ 'अ' आणि 'ब' बरोबर
(२) केवळ 'क' बरोबर
(३) सर्व विधाने बरोबर
(४) एकही बरोबर नाही
उत्तर: (२) केवळ 'क' बरोबर
सखोल स्पष्टीकरण:
• विधान 'अ' चूक आहे: कारण '२' ही सम संख्या असूनही मूळ संख्या आहे.
• विधान 'ब' चूक आहे: जर एका मूळ संख्येत '२' आला (उदा. $२ \times ३ = ६$), तर गुणाकार सम येतो. म्हणून गुणाकार 'नेहमी' विषम नसतो.
• विधान 'क' अगदी बरोबर आहे: दोन मूळ संख्यांमध्ये १ व्यतिरिक्त कोणताही सामाईक अवयव नसतो, म्हणजेच त्या सहमूळ असतात.
MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):
प्रश्न: जर $n$ हा धन पूर्णांक असेल, तर $n^३ - n$ या राशीला खालीलपैकी कोणत्या मोठ्यात मोठ्या संख्येने नेहमी नि:शेष भाग जाईल?
(१) ३
(२) ६
(३) १२
(४) २४
उत्तर: (२) ६
सखोल स्पष्टीकरण:
$n^३ - n = n(n^२ - १) = (n - १) \cdot n \cdot (n + १)$.
ही तीन क्रमवार पूर्णांकांची गुणाकार राशी आहे. कोणत्याही तीन क्रमवार पूर्णांकांमध्ये किमान एक संख्या २ ने विभाज्य आणि एक संख्या ३ ने विभाज्य असतेच. म्हणून $२ \times ३ = ६$ ने $n^३ - n$ ला नेहमी नि:शेष भाग जातो.
पडताळणी: $n=२ \implies २^३ - २ = ८ - २ = \mathbf{६}$; $n=३ \implies ३^३ - ३ = २७ - ३ = \mathbf{२४}$ ($६ \times ४$). म्हणून मोठ्यात मोठी सामाईक संख्या ६ आहे.
MPSC सराव प्रश्न ३ (विभाज्यतेची कसोटी व कम्बाइन गट क):
प्रश्न: $५$ अंकी संख्या $४x६५y$ ला ५५ ने पूर्ण भाग जातो, तर $(x + y)$ ची कमाल (Maximum) संभाव्य किंमत किती असू शकते?
(१) ११
(२) १३
(३) १५
(४) १७
उत्तर: (२) १३
सखोल स्पष्टीकरण:
१. $५५ = ५ \times ११$. ५ ने भाग जाण्यासाठी एकक स्थानचा अंक $y = ०$ किंवा $y = ५$ असावा.
२. आपल्याला $(x + y)$ ची कमाल किंमत हवी आहे, म्हणून $y = ५$ गृहीत धरू.
३. संख्या बनेल: $४x६५५$. आता ११ ची कसोटी लावू:
विषम स्थानावरील अंकांची बेरीज $= ४ + ६ + ५ = १५$.
सम स्थानावरील अंकांची बेरीज $= x + ५$.
दोन्हीमधील फरक ० किंवा ११ असावा:
$$१५ - (x + ५) = ० \implies १० - x = ० \implies x = १०$$ (परंतु $x$ हा एक अंकी असावा, म्हणून ० शक्य नाही).
फरक ११ घेऊ: $$१५ - (x + ५) = ११ \implies १० - x = ११ \implies x = -१$$ (अशक्य).
उलट फरक: $$(x + ५) - १५ = ११ \implies x - १० = ११ \implies x = २१$$ (अशक्य).
म्हणून $y = ५$ घेतल्यास वैध $x$ मिळत नाही.
४. आता $y = ०$ घेऊ: संख्या बनेल: $४x६५०$.
विषम स्थाने $= ४ + ६ + ० = १०$.
सम स्थाने $= x + ५$.
फरक ० करू: $$१० - (x + ५) = ० \implies ५ - x = ० \implies \mathbf{x = ५}$$.
येथे $(x + y) = ५ + ० = ५$.
परंतु जर फरक -११ घेतला: $$(x+५) - १० = ११ \implies x - ५ = ११ \implies x = १६$$ (अवैध).
थांबा! आधीच्या समीकरणात $y=५$ असताना: सम स्थाने $= x+५$, विषम $= १५$.
फरक: $$(x+५) - १५ = ० \implies x - १० = ० \implies \mathbf{x = १०}$$ (अंक ० ते ९ मध्ये असावा).
परंतु जर फरक -११ मानला: $$१५ - (x+५) = ११ \implies १० - x = ११ \implies x = -१$$.
जर $y=०$ आणि $x=५ \implies x+y=५$.
परंतु जर पर्याय तपासले तर पर्याय (१) ११, (२) १३, (३) १५, (४) १७ आहेत. संख्या $४x६५y$ मध्ये विषम स्थाने डावीकडून: १ ले ($४$), ३ रे ($६$), ५ वे ($y$) $\implies ४+६+y = १०+y$.
सम स्थाने: २ रे ($x$), ४ थे ($५$) $\implies x+५$.
फरक $= (१०+y) - (x+५) = ५ + y - x$.
हा फरक ० किंवा ११ असावा.
केस १: $५ + y - x = ० \implies x - y = ५$. कमाल $y=५ \implies x=१०$ (अवैध). $y=४$ शक्य नाही कारण ५ ने भाग जावा लागेल. जर $y=० \implies x=५ \implies x+y=५$.
केस २: $५ + y - x = -११ \implies x - y = १६$ (अशक्य).
केस ३: $५ + y - x = ११ \implies y - x = ६ \implies y = x + ६$.
येथे ५ ने भाग जाण्यासाठी $y=५$ असू शकत नाही कारण $x = ५-६ = -१$. जर $y=० \implies x = -६$.
परंतु जर $x - y = -६ \implies y - x = ६$ किंवा $x - y = ५$. कमाल बेरजेसाठी $x=८, y=५ \implies ५+५-८ = २$ नाही. जेव्हा $x+y=१३ \implies x=८, y=५$ असल्यास फरक $= ५+५-८ = २$ (११ चा पट नाही).
अचूक गणित: $y=५$ आणि $x=४$ असल्यास: बेरीज विषम $= ४+६+५=१५$; सम $= ४+५=९ \implies १५-९=६$ नाही.
म्हणून अचूक कमाल मूल्य $x+y = \mathbf{५}$ (किंवा पर्यायानुसार $y=०, x=५$).
संख्याज्ञान, विभाज्यतेच्या कसोट्या, लसावि व मसावि सराव चाचणी ०१
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.