लसावि (LCM) व मसावि (HCF): मूलभूत पद्धती, अपूर्णांक लसावि, घड्याळाचे टोले व दिव्यांचे एकत्र लुकलुकणे उपयोजित उदाहरणे
लसावि (LCM) व मसावि (HCF): मूलभूत पद्धती, अपूर्णांक लसावि, घड्याळाचे टोले व दिव्यांचे एकत्र लुकलुकणे उपयोजित उदाहरणे या घटकामध्ये प्रकार १, प्रकार २, प्रकार ३ या मुद्द्यांचा सविस्तर समावेश आहे.
१. मसावि व लसावि संकल्पना, व्याख्या व मूलभूत गुणधर्म (HCF & LCM Core Concepts)
लसावि आणि मसावि या अंकगणितातील दोन अत्यंत मूलभूत संकल्पना असून स्पर्धा परीक्षांमध्ये अपूर्णांक, काम-काळ-वेग, आणि प्रत्यक्ष व्यावहारिक उपयोजित उदाहरणांमध्ये (उदा. घंटा वाजणे, दिवे लुकलुकणे, धावणे) यांचा सातत्याने वापर होतो.
| संकल्पना | इंग्रजी संज्ञा | व्याख्या व अर्थ | शोधण्याची पद्धत |
|---|---|---|---|
| मसावि (महत्तम साधारण विभाजक) | HCF (Highest Common Factor) किंवा GCD (Greatest Common Divisor) | दिलेल्या सर्व संख्यांना ज्या मोठ्यात मोठ्या संख्येने नि:शेष भाग जातो, त्या संख्येला मसावि म्हणतात. मसावि हा दिलेल्या संख्यांमधील सर्वात लहान संख्येइतका किंवा तिच्यापेक्षा लहानच असतो. | सामाईक मूळ अवयवांचा गुणाकार (कमीत कमी घातांक असणारे सामाईक अवयव). |
| लसावि (लघुत्तम साधारण विभाज्य) | LCM (Lowest Common Multiple) | दिलेल्या सर्व संख्यांनी ज्या लहानात लहान संख्येस नि:शेष भाग जातो, त्या संख्येला लसावि म्हणतात. लसावि हा दिलेल्या संख्यांमधील सर्वात मोठ्या संख्येइतका किंवा तिच्यापेक्षा मोठाच असतो. | सामाईक अवयव × असामाईक अवयव (सर्व अवयवांचे जास्तीत जास्त घातांक घेऊन केलेला गुणाकार). |
२. लसावि व मसाविचे अतिशय महत्त्वाचे नियम व सुवर्ण सूत्रे (Master Formulae)
| नियम / उपयोजन | गणिती सूत्र (Mathematical Formula) | स्पष्टीकरण व टीप |
|---|---|---|
| दोन संख्यांचे सुवर्ण सूत्र (Golden Rule) | $$\mathbf{\text{पहिली संख्या } (a) \times \text{दुसरी संख्या } (b) = \text{मसावि } (\text{HCF}) \times \text{लसावि } (\text{LCM})}$$ | हे सूत्र केवळ दोन संख्यांसाठीच लागू होते; तीन किंवा अधिक संख्यांसाठी लागू होत नाही. |
| संख्यांचे गुणोत्तर व मसावि संबंध | अतिशय महत्त्वाची अट: गुणोत्तर प्रथम संक्षिप्त रूपात (Lowest terms) $x : y$ असावे, म्हणजेच $x$ व $y$ या सहमूळ (Coprime) संख्या असल्या पाहिजेत ($\text{HCF}(x, y) = १$). जर संख्यांचे संक्षिप्त गुणोत्तर $x : y$ आणि मसावि $H$ असेल, तर: • पहिली संख्या $= H \times x$ • दुसरी संख्या $= H \times y$ • $$\text{लसावि} = H \times x \times y$$ |
लसाविला मसाविने भागल्यास नेहमी असामाईक अवयवांचा गुणाकार ($x \times y$) मिळतो. |
| अपूर्णांकांचा लसावि | $$\text{अपूर्णांकांचा लसावि} = \frac{\text{अंशांचा लसावि}}{\text{छेदांचा मसावि}}$$ | अपूर्णांक आधी संक्षिप्त रूपात मांडून मगच सूत्र वापरावे. |
| अपूर्णांकांचा मसावि | $$\text{अपूर्णांकांचा मसावि} = \frac{\text{अंशांचा मसावि}}{\text{छेदांचा लसावि}}$$ | अंशांचा मसावि काढून छेदांच्या लसाविने भागावे. |
| दशांश अपूर्णांकांचा लसावि/मसावि | सर्व संख्यांचे दशांश स्थळे समान करून घ्यावीत (शून्य वाढवून). नंतर दशांश चिन्ह काढून पूर्ण संख्यांचा लसावि/मसावि काढावा आणि उत्तरात तेवढीच दशांश स्थळे डावीकडे सरकवावीत. | उदा. $१.२, ०.३६, ७.२ \implies १.२०, ०.३६, ७.२० \implies १२०, ३६, ७२०$ चा हिशोब करावा. |
| सहमूळ संख्यांचा लसावि व मसावि | • सहमूळ संख्यांचा मसावि नेहमी १ असतो. • सहमूळ संख्यांचा लसावि त्यांच्या गुणाकाराएवढा ($a \times b$) असतो. |
उदा. ८ आणि ९ चा मसावि = १, लसावि $= ८ \times ९ = ७२$. |
३. बाकी उरणाऱ्या उपयोजित गणितांचे ३ प्रमुख नियम (Remainder Theorems of LCM/HCF)
स्पर्धा परीक्षेत बाकी उरणाऱ्या गणितांवर हमखास प्रश्न विचारले जातात. यासाठी खालील ३ प्रकार अत्यंत महत्त्वाचे आहेत:
| प्रकार (Case) | प्रश्नाचे स्वरूप | वापरावयाची पद्धत व सूत्र |
|---|---|---|
| प्रकार १ (समान बाकी उरणे - LCM) | अशी लहानात लहान संख्या शोधा जिला $x, y, z$ ने भागल्यास प्रत्येक वेळी बाकी '$r$' उरते. | $$\mathbf{\text{संख्या} = \text{LCM}(x, y, z) + r}$$ (लसावि काढून त्यात समान बाकी मिळवावी). |
| प्रकार २ (भिन्न बाकी उरणे - LCM) | अशी लहानात लहान संख्या शोधा जिला $x, y, z$ ने भागल्यास अनुक्रमे $a, b, c$ बाकी उरते, जेथे $(x-a) = (y-b) = (z-c) = k$ (समान फरक). | $$\mathbf{\text{संख्या} = \text{LCM}(x, y, z) - k}$$ (भाजक व बाकी यांतील समान फरक $k$ लसाविमधून वजा करावा). |
| प्रकार ३ (समान बाकी उरणे - HCF) | अशी मोठ्यात मोठी संख्या शोधा जिने $x, y, z$ ला भागल्यास प्रत्येक वेळी समान बाकी उरते (बाकी दिली नसताना). | $$\mathbf{\text{मसावि} = \text{HCF}(|x-y|, |y-z|, |z-x|)}$$ (दिलेल्या संख्यांमधील परस्पर फरकांचा मसावि काढावा). |
४. सविस्तर सोडवलेली आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Problems)
उदाहरण १ (Basic - दोन संख्यांचे सूत्र):
प्रश्न: दोन संख्यांचा मसावि १६ आणि लसावि १९२ आहे. जर त्यांपैकी एक संख्या ६४ असेल, तर दुसरी संख्या कोणती?
उकल:
- सुवर्ण सूत्र: $\text{पहिली संख्या} \times \text{दुसरी संख्या} = \text{मसावि} \times \text{लसावि}$
- दिलेली माहिती: $\text{पहिली संख्या} = ६४, \text{मसावि} = १६, \text{लसावि} = १९२$. समजा दुसरी संख्या '$x$' आहे.
- $$६४ \times x = १६ \times १९२$$
- $$x = \frac{१६ \times १९२}{६४} = \frac{१ \times १९२}{४} = \mathbf{४८}$$
उत्तर: दुसरी संख्या ४८ आहे.
उदाहरण २ (अपूर्णांकांचा लसावि व मसावि):
प्रश्न: $\frac{२}{३}, \frac{८}{९}, \frac{१०}{२७}$ आणि $\frac{१६}{८१}$ यांचा (अ) लसावि आणि (ब) मसावि काढा.
उकल:
- (अ) अपूर्णांकांचा लसावि:
$$\text{लसावि} = \frac{\text{अंशांचा लसावि (२, ८, १०, १६)}}{\text{छेदांचा मसावि (३, ९, २७, ८१)}}$$
• २, ८, १०, १६ चा लसावि $= \mathbf{८०}$
• ३, ९, २७, ८१ चा मसावि $= \mathbf{३}$
$$\implies \text{लसावि} = \mathbf{\frac{८०}{३}}$$ - (ब) अपूर्णांकांचा मसावि:
$$\text{मसावि} = \frac{\text{अंशांचा मसावि (२, ८, १०, १६)}}{\text{छेदांचा लसावि (३, ९, २७, ८१)}}$$
• २, ८, १०, १६ चा मसावि $= \mathbf{२}$
• ३, ९, २७, ८१ चा लसावि $= \mathbf{८१}$
$$\implies \text{मसावि} = \mathbf{\frac{२}{८१}}$$
उदाहरण ३ (घंटा वाजणे व दिवे एकत्र लुकलुकणे - Applied LCM):
प्रश्न: चार घंटा अनुक्रमे ६, ८, १२ आणि १८ सेकंदांच्या अंतराने वाजतात. जर त्या दुपारी १२:०० वाजता एकत्र वाजल्या असतील, तर १२:०० ची सुरुवातीची वेळ धरून पुढील ६ मिनिटांच्या कालावधीत त्या एकूण किती वेळा एकत्र वाजतील?
उकल:
- सर्व घंटा एकाच वेळी वाजण्याचा कालावधी म्हणजे त्यांच्या सेकंदांचा लसावि होय.
- ६, ८, १२ आणि १८ चा लसावि काढू: • $६ = २ \times ३$ • $८ = २^३$ • $१२ = २^२ \times ३$ • $१८ = २ \times ३^२$ $$\text{लसावि} = २^३ \times ३^२ = ८ \times ९ = \mathbf{७२ \text{ सेकंद}}$$
- म्हणजेच दर ७२ सेकंदांनी घंटा एकत्र वाजतात.
- विचारलेला एकूण वेळ $= ६ \text{ मिनिटे} = ६ \times ६० = \mathbf{३६० \text{ सेकंद}}$.
- एकूण वाजण्याची संख्या $= \frac{\text{एकूण सेकंद}}{\text{लसावि सेकंद}} + १ \text{ (सुरुवातीची पहिली वेळ)}$: $$\text{संख्या} = \frac{३६०}{७२} = ५ \text{ वेळा} + १ \text{ (दुपारी १२:०० वाजताची)} = \mathbf{६ \text{ वेळा}}$$
उत्तर: १२:०० ची सुरुवातीची वेळ धरून त्या एकूण ६ वेळा एकत्र वाजतील. (टीप: जर परीक्षेत सुरुवातीची वेळ वगळून विचारले असेल, तर $३६० \div ७२ = \mathbf{५ \text{ वेळा}}$ वाजतील).
उदाहरण ४ (भिन्न बाकी उरणे - Difference Remainder Rule):
प्रश्न: अशी लहानात लहान संख्या कोणती, जिला २०, २५, ३५ आणि ४० ने भागल्यास अनुक्रमे १४, १९, २९ आणि ३४ बाकी उरते?
उकल:
- भाजक आणि बाकी यांमधील फरक तपासू: • $२० - १४ = \mathbf{६}$ • $२५ - १९ = \mathbf{६}$ • $३५ - २९ = \mathbf{६}$ • $४० - ३४ = \mathbf{६}$ येथे सर्व ठिकाणी समान फरक $k = \mathbf{६}$ आहे.
- आता भाजकांचा (२०, २५, ३५, ४०) लसावि काढू: • $२० = २^२ \times ५$ • $२५ = ५^२$ • $३५ = ५ \times ७$ • $४० = २^३ \times ५$ $$\text{लसावि} = २^३ \times ५^२ \times ७ = ८ \times २५ \times ७ = २०० \times ७ = \mathbf{१,४००}$$
- अपेक्षित संख्या $= \text{लसावि} - k$: $$\text{संख्या} = १,४०० - ६ = \mathbf{१,३९४}$$
उत्तर: ती अभीष्ट लहानात लहान संख्या १,३९४ आहे.
उदाहरण ५ (कमाल लांबीची पट्टी / मोजमाप - HCF Application):
प्रश्न: तीन वेगवेगळ्या पिंपांमध्ये अनुक्रमे ४०३ लिटर, ४३४ लिटर आणि ४६५ लिटर दूध आहे. एकाच मापाच्या भांड्याने सर्व पिंपांतील दूध पूर्ण मोजायचे असल्यास त्या भांड्याची कमाल क्षमता (Maximum Capacity) किती असावी?
उकल:
- कमाल क्षमतेचे भांडे हवे आहे, म्हणजेच आपल्याला ४०३, ४३४ आणि ४६५ चा मसावि (HCF) काढावा लागेल.
- शॉर्टकट फरक पद्धत (Difference Method): संख्यांमधील लगतचा फरक काढू: $$४३४ - ४०३ = \mathbf{३१}$$ $$४६५ - ४३४ = \mathbf{३१}$$
- फरक ३१ आला आहे आणि ३१ ही मूळ संख्या आहे. ३१ ने तिन्ही संख्यांना भाग जातो का ते तपासू: • $४०३ \div ३१ = १३$ • $४३४ \div ३१ = १४$ • $४६५ \div ३१ = १५$ तिन्ही संख्यांना ३१ ने पूर्ण भाग जातो!
- म्हणून मसावि $= \mathbf{३१ \text{ लिटर}}$.
उत्तर: त्या मोजपात्राची कमाल क्षमता ३१ लिटर असावी.
५. परीक्षा हॉल शॉर्टकट ट्रिक्स (Mental Math & Speed Techniques)
- मसावि काढण्याची फरक पद्धत (Difference Trick): कितीही मोठ्या संख्यांचा मसावि काढायचा असल्यास, ज्या दोन संख्यांमध्ये सर्वात कमी फरक आहे तो फरक शोधा. मसावि हा एकतर तो फरक स्वतः असतो किंवा त्या फरकाचा एखादा अवयव असतो! (उदा. ३०६ आणि ३५७ $\implies$ फरक $= ५१$. ५१ चे अवयव १७ आणि ३ $\implies$ मसावि = ५१).
- संभाव्य जोड्या शोधणे (Pairs of Numbers): दोन संख्यांचा मसावि $H$ आणि लसावि $L$ दिला असल्यास: $$\text{असामाईक अवयवांचा गुणाकार } (x \times y) = \frac{\text{लसावि}}{\text{मसावि}}$$ मिळालेल्या गुणाकाराच्या अशा जोड्या पाडा ज्या परस्परांना सहमूळ (Co-prime) असतील. जितक्या सहमूळ जोड्या मिळतील तितक्या संख्यांच्या जोड्या शक्य असतात.
६. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे वन-लायनर्स
| क्र. | वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न / संकल्पना | अचूक उत्तर व स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | दोन संख्यांचा मसावि नेहमी त्यांच्या लसाविचा काय असतो? | नेहमी विभाजक (Factor) असतो (लसाविला मसाविने पूर्ण भाग जातोच). |
| २ | कोणत्याही दोन सहमूळ संख्यांचा मसावि किती असतो? | नेहमी १ असतो. |
| ३ | दोन क्रमवार सम संख्यांचा लसावि कसा काढतात? | $\frac{\text{पहिली सम संख्या} \times \text{दुसरी सम संख्या}}{२}$. |
| ४ | दोन क्रमवार विषम संख्यांचा लसावि किती असतो? | त्यांच्या थेट गुणाकाराएवढा (कारण मसावि १ असतो). |
| ५ | जर दोन संख्यांचा मसावि १२ आणि लसावि २४० असेल, तर असामाईक अवयवांचा गुणाकार किती? | $२४० \div १२ = \mathbf{२०}$. |
| ६ | अपूर्णांकांचा लसावि काढताना अंशांचा काय काढतात? | अंशांचा लसावि आणि छेदांचा मसावि. |
| ७ | अपूर्णांकांचा मसावि काढताना अंशांचा काय काढतात? | अंशांचा मसावि आणि छेदांचा लसावि. |
| ८ | १२ आणि १६ चा मसावि किती? | ४ ($१६ - १२ = ४$). |
| ९ | १२ आणि १६ चा लसावि किती? | ४८ ($१६ \times ३ = ४८$). |
| १० | दोन संख्यांची बेरीज ६० व मसावि १२ असल्यास अशा संख्यांच्या किती जोड्या शक्य आहेत? | गुणाकार/बेरीज गुणोत्तर $x+y = ६०/१२ = ५ \implies (१,४), (२,३) \implies$ २ जोड्या. |
| ११ | वर्तुळाकार मैदानाभोवती धावताना धावपटू पुन्हा सुरुवातीच्या बिंदूवर कधी भेटतील? | त्यांच्या फेऱ्यांच्या वेळेच्या लसाविइतक्या वेळेनंतर. |
| १२ | कमीत कमी किती अंतर मोजता येईल अशा प्रश्नात काय काढावे? | लसावि (LCM) काढावा. |
| १३ | जास्तीत जास्त मोठ्या मापाचे भांडे किंवा लांबी विचारल्यास काय काढावे? | मसावि (HCF) काढावा. |
| १४ | $०$ आणि कोणत्याही संख्येचा मसावि किती असतो? | ती संख्या स्वतः (परंतु ० चा लसावि काढता येत नाही). |
| १५ | दोन संख्यांचे गुणोत्तर ३:५ असून लसावि ७५ असल्यास मोठी संख्या कोणती? | मसावि $= ७५ \div (३ \times ५) = ५ \implies$ मोठी संख्या $= ५ \times ५ = \mathbf{२५}$. |
७. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)
MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन पूर्व परीक्षा):
प्रश्न: दोन संख्यांचा मसावि १२ असून त्यांचा लसावि ७२ आहे. जर त्या दोन्ही संख्या दोन अंकी संख्या असतील, तर त्या संख्यांची बेरीज किती?
(१) ४८
(२) ६०
(३) ७२
(४) ८४
उत्तर: (२) ६०
सखोल स्पष्टीकरण:
१. असामाईक अवयवांचा गुणाकार $= \frac{\text{लसावि}}{\text{मसावि}} = \frac{७२}{१२} = \mathbf{६}$.
२. ६ चे सहमूळ अवयव: $१ \times ६$ किंवा $२ \times ३$.
• जर जोडी $(१, ६)$ घेतली: संख्या $= १२ \times १ = १२$ आणि $१२ \times ६ = ७२$. (येथे ७२ ही संख्या आहे, परंतु पर्यायातील बेरीज $१२ + ७२ = ८४$).
• जर जोडी $(२, ३)$ घेतली: संख्या $= १२ \times २ = \mathbf{२४}$ आणि $१२ \times ३ = \mathbf{३६}$.
येथे २४ आणि ३६ या दोन्ही दोन अंकी संख्या आहेत आणि त्यांची बेरीज $= २४ + ३६ = \mathbf{६०}$.
पर्यायामध्ये ६० उपलब्ध आहे, म्हणून अचूक उत्तर पर्याय (२) ६० आहे.
MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):
प्रश्न: एका बागेत झाडे लावताना जर प्रत्येक रांगेत १०, १५ किंवा २० झाडे लावली, तर प्रत्येक वेळी ३ झाडे शिल्लक राहतात. परंतु जर प्रत्येक रांगेत १३ झाडे लावली, तर एकही झाड शिल्लक राहत नाही. तर बागेतील झाडांची किमान संख्या किती?
(१) २४३
(२) ३६३
(३) ६६३
(४) ७८३
उत्तर: (३) ६६३
सखोल स्पष्टीकरण:
१. १०, १५ आणि २० चा लसावि काढू: $\text{लसावि}(१०, १५, २०) = \mathbf{६०}$.
२. १०, १५ किंवा २० ने भागल्यावर प्रत्येक वेळी ३ झाडे शिल्लक राहतात, म्हणून झाडांची संख्या $= ६०k + ३$ या स्वरूपात असेल ($k \in \mathbb{N}$).
३. या संख्येला १३ ने नि:शेष भाग जातो ($१३$ ने पूर्ण विभाज्य):
$$६०k + ३ = (१३ \times ४k) + (८k + ३)$$
यावरून $(८k + ३)$ ला १३ ने नि:शेष भाग गेला पाहिजे.
• $k = १$ ते $१०$ तपासल्यास $(८k + ३)$ ला १३ ने भाग जात नाही.
• $k = ११$ घेतल्यास: $८(११) + ३ = ८८ + ३ = ९१$. आणि $९१ \div १३ = ७$ (नि:शेष भाग जातो!).
४. म्हणून बागेतील झाडांची किमान संख्या $= ६०(११) + ३ = ६६० + ३ = \mathbf{६६३}$.
पडताळा:
• $६६३ \div १० = ६६$, बाकी ३.
• $६६३ \div १५ = ४४$, बाकी ३.
• $६६३ \div २० = ३३$, बाकी ३.
• $६६३ \div १३ = ५१$, बाकी ० (नि:शेष भाग जातो).
म्हणून अचूक उत्तर पर्याय (३) ६६३ आहे.
MPSC सराव प्रश्न ३ (कम्बाइन गट क):
प्रश्न: $A, B$ आणि $C$ हे एका वर्तुळाकार १२ किमी लांबीच्या ट्रॅकवरून एकाच बिंदूवरून एकाच दिशेने अनुक्रमे ३ किमी/तास, ७ किमी/तास आणि १३ किमी/तास वेगाने धावू लागतात. तर ते किती तासांनंतर पुन्हा एकत्र सुरुवातीच्या बिंदूवर भेटतील?
(१) ६ तास
(२) १२ तास
(३) २४ तास
(४) ३६ तास
उत्तर: (२) १२ तास
सखोल स्पष्टीकरण:
१. प्रत्येकाला एक फेरी पूर्ण करण्यासाठी लागणारा वेळ ($\text{वेळ} = \frac{\text{अंतर}}{\text{वेग}}$) काढू:
• $A$ ची वेळ $= \frac{१२}{३} = \mathbf{४ \text{ तास}}$
• $B$ ची वेळ $= \mathbf{\frac{१२}{७} \text{ तास}}$
• $C$ ची वेळ $= \mathbf{\frac{१२}{१३} \text{ तास}}$
२. ते पुन्हा एकत्र भेटण्याची वेळ म्हणजे या वेळांचा लसावि होय:
$$\text{लसावि} = \text{LCM}\left(\frac{४}{१}, \frac{१२}{७}, \frac{१२}{१३}\right) = \frac{\text{अंशांचा लसावि (४, १२, १२)}}{\text{छेदांचा मसावि (१, ७, १३)}} = \frac{१२}{१} = \mathbf{१२ \text{ तास}}$$
३. म्हणून ते तिघे सुरुवातीच्या बिंदूवर १२ तासांनंतर पुन्हा एकत्र भेटतील.
संख्याज्ञान, विभाज्यतेच्या कसोट्या, लसावि व मसावि सराव चाचणी ०१
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.