वेग, वेळ व अंतर (Speed, Time & Distance), आगगाडीवरील उदाहरणे (Trains) व बोट-प्रवाह (Boats & Streams)
वेग, वेळ व अंतर (Speed, Time & Distance), आगगाडीवरील उदाहरणे (Trains) व बोट-प्रवाह (Boats & Streams) या घटकामध्ये वेग, वेळ आणि अंतर (Speed, Time & Distance), एकक रूपांतर नियम, बोट आणि पाण्याचा प्रवाह (Boats & Streams) या मुद्द्यांचा सविस्तर समावेश आहे.
१. वेग, वेळ आणि अंतर (Speed, Time & Distance): मूलभूत संकल्पना व एकक रूपांतर
गतीशास्त्रातील मूलभूत नियम म्हणजे कापलेले अंतर हे वेग आणि लागणारा वेळ यांच्या गुणाकाराएवढे असते. या घटकावर प्रश्न सोडवताना एकके (Units) सुसंगत असणे अत्यंत महत्त्वाचे असते.
मूलभूत प्रमाणित सूत्रे:
$$\mathbf{\text{अंतर (Distance)} = \text{वेग (Speed)} \times \text{वेळ (Time)}}$$ $$\mathbf{\text{वेग (Speed)} = \frac{\text{अंतर}}{\text{वेळ}}} \qquad \mathbf{\text{वेळ (Time)} = \frac{\text{अंतर}}{\text{वेग}}}$$| एकक रूपांतर प्रकार | गुणाकार घटक (Conversion Factor) | स्पष्टीकरण व उदाहरण |
|---|---|---|
| $\text{km/h}$ चे $\text{m/s}$ मध्ये रूपांतर | $$\times \frac{५}{१८}$$ | व्युत्पत्ती (Derivation): $$१ \text{ km/h} = \frac{१,००० \text{ मीटर}}{३,६०० \text{ सेकंद}} = \frac{१०}{३६} = \mathbf{\frac{५}{१८} \text{ m/s}}$$ म्हणून $\text{km/h}$ ला $\frac{५}{१८}$ ने गुणल्यास $\text{m/s}$ मिळतात. उदा. $७२ \text{ km/h} = ७२ \times \frac{५}{१८} = ४ \times ५ = \mathbf{२० \text{ m/s}}$. |
| $\text{m/s}$ चे $\text{km/h}$ मध्ये रूपांतर | $$\times \frac{१८}{५}$$ | व्युत्पत्ती (Derivation): $$१ \text{ m/s} = \frac{१/१,००० \text{ km}}{१/३,६०० \text{ hr}} = \frac{३,६००}{१,०००} = \mathbf{\frac{१८}{५} \text{ km/h}}$$ म्हणून $\text{m/s}$ ला $\frac{१८}{५}$ ने गुणल्यास $\text{km/h}$ मिळतात. उदा. $२५ \text{ m/s} = २५ \times \frac{१८}{५} = ५ \times १८ = \mathbf{९० \text{ km/h}}$. |
| समान अंतरासाठी सरासरी वेग | $$\mathbf{\text{सरासरी वेग} = \frac{२xy}{x + y}}$$ | जाताना वेग $x$ आणि येताना वेग $y$ असल्यास. |
२. सापेक्ष वेग (Relative Speed) संकल्पना
- दोन वस्तू एकाच दिशेने धावत असल्यास (Same Direction): $$\mathbf{\text{सापेक्ष वेग} = v_१ - v_२ \quad (v_१ > v_२)}$$ (वेगांची वजाबाकी होते; उदा. पोलीस चोराचा पाठलाग करताना).
- दोन वस्तू परस्परांच्या विरुद्ध दिशेने येत असल्यास (Opposite Direction): $$\mathbf{\text{सापेक्ष वेग} = v_१ + v_२}$$ (वेगांची बेरीज होते; दोन्ही वस्तू एकमेकांच्या दिशेने वेगाने जवळ येतात).
३. आगगाडीवरील उदाहरणे (Problems on Trains): पार केलेले अंतर नियम
| ओलांडावयाची वस्तू | वस्तूची लांबी | पार करावयाचे एकूण अंतर (Total Distance) | वापरावयाचे सूत्र |
|---|---|---|---|
| खांब, झाड किंवा उभा माणूस | नगण्य (Zero) | केवळ गाडीची स्वतःची लांबी ($L_T$) | $$\text{वेळ} = \frac{L_T}{\text{गाडीचा वेग}}$$ |
| प्लॅटफॉर्म, पूल किंवा बोगदा | विशिष्ट लांबी ($L_P$) | गाडीची लांबी $+$ पुलाची लांबी ($L_T + L_P$) | $$\text{वेळ} = \frac{L_T + L_P}{\text{गाडीचा वेग}}$$ |
| दुसरी धावणारी गाडी (विरुद्ध दिशा) | लांबी $L_२$ | दोन्ही गाड्यांच्या लांबींची बेरीज ($L_१ + L_२$) | $$\text{वेळ} = \frac{L_१ + L_२}{v_१ + v_२}$$ |
| दुसरी धावणारी गाडी (एकाच दिशा) | लांबी $L_२$ | दोन्ही गाड्यांच्या लांबींची बेरीज ($L_१ + L_२$) | $$\text{वेळ} = \frac{L_१ + L_२}{v_१ - v_२}$$ |
४. बोट आणि पाण्याचा प्रवाह (Boats & Streams Master Formulas)
पाण्याचा प्रवाह असणाऱ्या नदीत बोटीचा वेग पाण्याच्या प्रवाहाच्या दिशेवर अवलंबून असतो:
- समजा, शांत पाण्यातील बोटीचा वेग $= u \text{ किमी/तास}$
- पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग $= v \text{ किमी/तास}$
| गतीचा प्रकार | इंग्रजी नाव | प्रमाणित सूत्र | स्पष्टीकरण |
|---|---|---|---|
| प्रवाहाच्या दिशेने वेग (अनुप्रवाह) | Downstream Speed ($D$) | $$\mathbf{D = u + v}$$ | पाण्याचा प्रवाह बोटीला पुढे ढकलतो, त्यामुळे वेग वाढतो. |
| प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने वेग (उर्ध्वप्रवाह) | Upstream Speed ($U$) | $$\mathbf{U = u - v}$$ | पाण्याचा प्रवाह बोटीला विरोध करतो, त्यामुळे वेग कमी होतो. |
| शांत पाण्यातील बोटीचा वेग ($u$) | Speed of Boat in Still Water | $$\mathbf{u = \frac{D + U}{२}}$$ | Downstream आणि Upstream वेगांची सरासरी. |
| पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग ($v$) | Speed of Stream / Current | $$\mathbf{v = \frac{D - U}{२}}$$ | Downstream आणि Upstream वेगांतील फरकाची निमपट. |
५. सविस्तर सोडवलेली आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Problems)
उदाहरण १ (Basic - खांब ओलांडणारी रेल्वे):
प्रश्न: १८० मीटर लांबीची एक आगगाडी एका विजेच्या खांबाला ९ सेकंदांत ओलांडते, तर त्या गाडीचा वेग ताशी किती किमी आहे?
उकल:
- खांब ओलांडताना पार केलेले अंतर $= \text{गाडीची लांबी} = १८० \text{ मीटर}$.
- लागणारा वेळ $= ९ \text{ सेकंद}$.
- गाडीचा वेग (मी/से मध्ये): $$\text{वेग} = \frac{\text{अंतर}}{\text{वेळ}} = \frac{१८०}{९} = \mathbf{२० \text{ m/s}}$$
- आता $\text{m/s}$ चे $\text{km/h}$ मध्ये रूपांतर करू ($\times \frac{१८}{५}$): $$\text{वेग} = २० \times \frac{१८}{५} = ४ \times १८ = \mathbf{७२ \text{ किमी/तास}}$$
उत्तर: गाडीचा वेग ७२ किमी/तास आहे.
उदाहरण २ (प्लॅटफॉर्म ओलांडणे - Trains):
प्रश्न: ३०० मीटर लांबीची एक रेल्वे ताशी ५४ किमी वेगाने धावत आहे. तिला २५० मीटर लांबीचा प्लॅटफॉर्म ओलांडण्यासाठी किती सेकंद लागतील?
उकल:
- पार करावयाचे एकूण अंतर $= \text{रेल्वेची लांबी} + \text{प्लॅटफॉर्मची लांबी}$: $$\text{अंतर} = ३०० + २५० = \mathbf{५५० \text{ मीटर}}$$
- गाडीचा वेग $\text{km/h}$ मधून $\text{m/s}$ मध्ये करू: $$\text{वेग} = ५४ \times \frac{५}{१८} = ३ \times ५ = \mathbf{१५ \text{ m/s}}$$
- लागणारा वेळ: $$\text{वेळ} = \frac{\text{अंतर}}{\text{वेग}} = \frac{५५०}{१५} = \frac{११०}{३} = \mathbf{३६\frac{२}{३} \text{ सेकंद}}$$
उत्तर: प्लॅटफॉर्म ओलांडण्यास $३६\frac{२}{३}$ सेकंद (किंवा ३६.६६ सेकंद) लागतील.
उदाहरण ३ (चोर व पोलीस सापेक्ष वेग पाठलाग):
प्रश्न: एक पोलीस २०० मीटर अंतरावर असणाऱ्या चोराचा पाठलाग सुरू करतो. चोर ताशी १० किमी वेगाने व पोलीस ताशी १२ किमी वेगाने धावत असल्यास, किती मिनिटांनंतर पोलीस चोराला पकडेल?
उकल:
- दोघांमधील सुरुवातीचे अंतर $= २०० \text{ मीटर}$.
- दोघेही एकाच दिशेने धावत आहेत, म्हणून सापेक्ष वेग (Relative Speed): $$\text{सापेक्ष वेग} = १२ - १० = २ \text{ किमी/तास}$$
- वेगाचे $\text{m/s}$ मध्ये रूपांतर करू: $$\text{वेग} = २ \times \frac{५}{१८} = \frac{५}{९} \text{ m/s}$$
- लागणारा वेळ (सेकंदात): $$\text{वेळ} = \frac{\text{अंतर}}{\text{सापेक्ष वेग}} = \frac{२००}{५/९} = २०० \times \frac{९}{५} = ४० \times ९ = \mathbf{३६० \text{ सेकंद}}$$
- मिनिटांत रूपांतर: $\frac{३६०}{६०} = \mathbf{६ \text{ मिनिटे}}$.
उत्तर: पोलीस ६ मिनिटांनंतर चोराला पकडेल.
उदाहरण ४ (बोट आणि पाण्याचा प्रवाह - Boats & Streams):
प्रश्न: एका बोटीचा प्रवाहाच्या दिशेने वेग १५ किमी/तास असून प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने वेग ९ किमी/तास आहे. तर (अ) शांत पाण्यातील बोटीचा वेग आणि (ब) पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग काढा.
उकल:
- दिलेली माहिती: $D = १५ \text{ किमी/तास}$ आणि $U = ९ \text{ किमी/तास}$.
- (अ) शांत पाण्यातील बोटीचा वेग ($u$): $$u = \frac{D + U}{२} = \frac{१५ + ९}{२} = \frac{२४}{२} = \mathbf{१२ \text{ किमी/तास}}$$
- (ब) प्रवाहाचा वेग ($v$): $$v = \frac{D - U}{२} = \frac{१५ - ९}{२} = \frac{६}{२} = \mathbf{३ \text{ किमी/तास}}$$
उत्तर: शांत पाण्यातील बोटीचा वेग १२ किमी/तास आणि प्रवाहाचा वेग ३ किमी/तास आहे.
६. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे वन-लायनर्स
| क्र. | वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न / संकल्पना | अचूक उत्तर व स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | $\text{km/h}$ चे $\text{m/s}$ मध्ये रूपांतर करण्यासाठी कशाने गुणावे? | $\frac{५}{१८}$ ने गुणावे. |
| २ | $\text{m/s}$ चे $\text{km/h}$ मध्ये रूपांतर करण्यासाठी कशाने गुणावे? | $\frac{१८}{५}$ ने गुणावे. |
| ३ | ताशी ९० किमी म्हणजे प्रति सेकंद किती मीटर? | $९० \times \frac{५}{१८} = \mathbf{२५ \text{ m/s}}$. |
| ४ | रेल्वे झाडाला ओलांडताना पार केलेले अंतर म्हणजे काय? | फक्त रेल्वेची स्वतःची लांबी. |
| ५ | दोन गाड्या एकाच दिशेने धावत असताना सापेक्ष वेग कसा काढतात? | वेगांची वजाबाकी ($v_१ - v_२$) करून. |
| ६ | दोन गाड्या विरुद्ध दिशेने धावत असताना सापेक्ष वेग कसा काढतात? | वेगांची बेरीज ($v_१ + v_२$) करून. |
| ७ | प्रवाहाच्या दिशेने जाताना बोटीचा वेग का वाढतो? | पाण्याचा प्रवाह बोटीला मदत करतो ($u + v$). |
| ८ | प्रवाहाचा वेग काढण्याचे सूत्र काय? | $\frac{\text{Downstream} - \text{Upstream}}{२}$. |
| ९ | शांत पाण्यातील बोटीचा वेग काढण्याचे सूत्र काय? | $\frac{\text{Downstream} + \text{Upstream}}{२}$. |
| १० | एकाच अंतरासाठी जाताना वेग $x$ व येताना $y$ असल्यास सरासरी वेग किती? | $\frac{२xy}{x + y}$. |
| ११ | दोन रेल्वे एकमेकांना ओलांडताना पार केलेले अंतर काय असते? | दोन्ही गाड्यांच्या लांबींची बेरीज ($L_१ + L_२$). |
| १२ | १ किलोमीटर म्हणजे किती मीटर? | १,००० मीटर. |
| १३ | १ तास म्हणजे किती सेकंद? | ३,६०० सेकंद ($६० \times ६०$). |
| १४ | नदीत तरंगणारा लाकडी ओंडका कोणत्या वेगाने वाहतो? | केवळ पाण्याच्या प्रवाहाच्या वेगाने ($v$). |
| १५ | विशिष्ट वेगाने चालल्यास १० मिनिटे उशीर व वेग वाढवल्यास ५ मिनिटे लवकर पोहोचल्यास वेळेतील फरक किती? | $१० + ५ = \mathbf{१५ \text{ मिनिटे}}$. |
७. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)
MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन पूर्व परीक्षा):
प्रश्न: समान लांबीच्या दोन आगगाड्या समांतर रुळांवरून एकाच दिशेने अनुक्रमे ताशी ४६ किमी आणि ताशी ३६ किमी वेगाने धावत आहेत. जलद गतीची गाडी संथ गतीच्या गाडीला ३६ सेकंदांत पूर्णपणे मागे टाकते, तर प्रत्येक गाडीची लांबी किती?
(१) ५० मीटर
(२) १०० मीटर
(३) ७२ मीटर
(४) ८० मीटर
उत्तर: (१) ५० मीटर
सखोल स्पष्टीकरण:
१. दोन्ही गाड्या एकाच दिशेने जात आहेत, म्हणून सापेक्ष वेग:
$$\text{सापेक्ष वेग} = ४६ - ३६ = १० \text{ किमी/तास}$$
२. $\text{m/s}$ मध्ये रूपांतर: $१० \times \frac{५}{१८} = \frac{५०}{१८} = \mathbf{\frac{२५}{९} \text{ m/s}}$.
३. पार केलेले अंतर $= \text{सापेक्ष वेग} \times \text{वेळ}$:
$$\text{अंतर} = \frac{२५}{९} \times ३६ = २५ \times ४ = \mathbf{१०० \text{ मीटर}}$$
४. हे अंतर म्हणजे दोन्ही गाड्यांच्या लांबींची बेरीज होय ($L_१ + L_२ = १००$). दोन्ही गाड्या समान लांबीच्या आहेत ($L_१ = L_२ = L$):
$$२L = १०० \implies L = \frac{१००}{२} = \mathbf{५० \text{ मीटर}}$$.
म्हणून प्रत्येक गाडीची लांबी ५० मीटर आहे.
MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):
प्रश्न: एक व्यक्ती आपल्या नेहमीच्या वेगाच्या $\frac{३}{४}$ वेगाने चालल्यामुळे आपल्या कार्यालयात २० मिनिटे उशिरा पोहोचतो. तर कार्यालयात पोहोचण्यासाठी त्याला सामान्यतः लागणारा नेहमीचा वेळ (Usual Time) किती?
(१) ४० मिनिटे
(२) ५० मिनिटे
(३) ६० मिनिटे
(४) ७५ मिनिटे
उत्तर: (३) ६० मिनिटे
सखोल स्पष्टीकरण:
१. अंतर समान असताना वेग आणि वेळ व्यस्त प्रमाणात असतात:
वेगाचे गुणोत्तर $= ४ : ३$ (नेहमीचा वेग : नवीन वेग).
लागणाऱ्या वेळेचे गुणोत्तर $= ३ : ४$ (नेहमीची वेळ : नवीन वेळ).
२. वेळेतील गुणोत्तराचा फरक $= ४ - ३ = \mathbf{१ \text{ युनिट}}$.
३. हा १ युनिट फरक म्हणजेच २० मिनिटांचा उशीर होय:
$$\mathbf{१ \text{ युनिट} = २० \text{ मिनिटे}}$$
४. नेहमीची वेळ $= ३ \text{ युनिट} = ३ \times २० = \mathbf{६० \text{ मिनिटे}}$ (१ तास).
(नवीन वेळ $= ४ \times २० = ८० \text{ मिनिटे}$).
म्हणून त्याचा नेहमीचा वेळ ६० मिनिटे आहे.
MPSC सराव प्रश्न ३ (कम्बाइन गट क):
प्रश्न: एक बोट प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने २४ किमी अंतर ६ तासांत पार करते आणि प्रवाहाच्या दिशेने २० किमी अंतर ४ तासांत पार करते. तर शांत पाण्यातील बोटीचा वेग किती?
(१) ४ किमी/तास
(२) ४.५ किमी/तास
(३) ५ किमी/तास
(४) ५.५ किमी/तास
उत्तर: (२) ४.५ किमी/तास
सखोल स्पष्टीकरण:
१. प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने वेग ($U$):
$$U = \frac{२४}{६} = \mathbf{४ \text{ किमी/तास}}$$
२. प्रवाहाच्या दिशेने वेग ($D$):
$$D = \frac{२०}{४} = \mathbf{५ \text{ किमी/तास}}$$
३. शांत पाण्यातील बोटीचा वेग ($u$):
$$u = \frac{D + U}{२} = \frac{५ + ४}{२} = \frac{९}{२} = \mathbf{४.५ \text{ किमी/तास}}$$
म्हणून शांत पाण्यातील बोटीचा वेग ४.५ किमी/तास आहे.
काळ-काम, वेग-अंतर, आगगाडी व बोट-प्रवाह सराव चाचणी ०६
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.