नफा आणि तोटा (Profit & Loss), छापील किंमत, शेकडा सूट (Discount) व सलग सूट शॉर्टकट सूत्रे
नफा आणि तोटा (Profit & Loss), छापील किंमत, शेकडा सूट (Discount) व सलग सूट शॉर्टकट सूत्रे या घटकामध्ये नफा आणि तोटा (Profit & Loss Formulas), सलग सूट / सूट (Discount), समान विक्री किमतीवर समान % नफा व तोटा या मुद्द्यांचा सविस्तर समावेश आहे.
१. नफा आणि तोटा (Profit & Loss): मूलभूत संकल्पना व संज्ञा
व्यापारी गणितात खरेदी किंमत, विक्री किंमत आणि छापील किंमत यांवर आधारित व्यवहार केले जातात. शेकडा नफा किंवा तोटा हा नेहमी खरेदी किमतीवरच (Cost Price) काढला जातो.
| संज्ञा (Terminology) | इंग्रजी नाव | व्याख्या व संकल्पना |
|---|---|---|
| खरेदी किंमत (CP) | Cost Price | वस्तू खरेदी करण्यासाठी दिलेली मूळ रक्कम + वाहतूक/दुरुस्ती खर्च (अनुषंगिक खर्च). |
| विक्री किंमत (SP) | Selling Price | ज्या किमतीला वस्तू ग्राहकाला विकली जाते. |
| छापील किंमत (MP) | Marked Price / List Price | वस्तूवर किंवा पाकिटावर छापलेली किंमत (सूट नेहमी छापील किमतीवर दिली जाते). |
| नफा (Profit) | Gain | जेव्हा विक्री किंमत खरेदी किमतीपेक्षा जास्त असते ($SP > CP$). |
| तोटा (Loss) | Loss | जेव्हा विक्री किंमत खरेदी किमतीपेक्षा कमी असते ($SP < CP$). |
| सूट / बट्टा (Discount) | Discount | ग्राहकाला आकर्षित करण्यासाठी छापील किमतीवर दिलेली वजावट ($MP - SP$). |
२. नफा, तोटा व सूट मास्टर सूत्रे (Master Formulae Table)
| प्रकार / संकल्पना | प्रमाणित गणिती सूत्र | महत्त्वाची टीप |
|---|---|---|
| नफा व शेकडा नफा | $$\text{नफा} = SP - CP \quad \implies \quad \mathbf{\text{शेकडा नफा (\%)} = \frac{\text{नफा}}{CP} \times १००}$$ | छेदामध्ये नेहमी $CP$ (खरेदी किंमत) असावा. |
| तोटा व शेकडा तोटा | $$\text{तोटा} = CP - SP \quad \implies \quad \mathbf{\text{शेकडा तोटा (\%)} = \frac{\text{तोटा}}{CP} \times १००}$$ | तोट्याची टक्केवारी खरेदीवरच मोजली जाते. |
| विक्री किंमत काढणे ($SP$) | $$\mathbf{SP = CP \times \left(\frac{१०० \pm \text{नफा/तोटा}\%}{१००}\right)}$$ | नफा असल्यास $+$ आणि तोटा असल्यास $-$ चिन्ह वापरावे. |
| खरेदी किंमत काढणे ($CP$) | $$\mathbf{CP = SP \times \left(\frac{१००}{१०० \pm \text{नफा/तोटा}\%}\right)}$$ | विक्री किमतीवरून मूळ किंमत शोधण्यासाठी. |
| छापील किंमत व शेकडा सूट | $$\text{सूट} = MP - SP \quad \implies \quad \mathbf{\text{शेकडा सूट (\%)} = \frac{\text{सूट}}{MP} \times १००}$$ | सूट नेहमी $MP$ (छापील किमतीवर) काढली जाते. |
| खरेदी व छापील किमतीचे थेट सूत्र | $$\mathbf{\frac{MP}{CP} = \frac{१०० + \text{नफा}\%}{१०० - \text{सूट}\%}}$$ | सूट देऊनही नफा कमवण्याच्या गणितांमध्ये सर्वात वेगवान सूत्र. |
| सलग दोन सुट (Successive Discount) | $$\mathbf{\text{एकल सममूल्य सूट} = x + y - \frac{x \times y}{१००}\%}$$ | उदा. $२०\%$ व $१०\%$ सलग सूट $\implies २० + १० - २ = \mathbf{२८\%}$. |
| समान SP वर समान नफा व तोटा | $$\mathbf{\text{कायमस्वरूपी शेकडा तोटा} = \frac{x^२}{१००}\%}$$ | दोन वस्तू एकाच दराने विकून एकावर $x\%$ नफा व दुसऱ्यावर $x\%$ तोटा झाल्यास नेहमी तोटाच होतो. |
| खोट्या वजनाचा वापर (Dishonest Dealer) | $$\mathbf{\text{शेकडा नफा} = \frac{\text{वजनात झालेली चोरी (त्रुटी)}}{\text{ग्राहकाला दिलेले प्रत्यक्ष माप}} \times १००}$$ | उदा. १ किग्रॅ ऐवजी ९०० ग्रॅम दिल्यास $\implies \frac{१००}{९००} \times १०० = \mathbf{११\frac{१}{९}\% \text{ नफा}}$. |
| $m$ वस्तूंची खरेदी $= n$ वस्तूंची विक्री | $$\mathbf{\text{शेकडा नफा/तोटा} = \frac{m - n}{n} \times १००\%}$$ | उत्तर धन आल्यास नफा, ऋण आल्यास तोटा. |
३. सविस्तर सोडवलेली आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Problems)
उदाहरण १ (Basic - नफा व खरेदी किंमत):
प्रश्न: एक सायकल ₹ ३,४५० ला विकल्याने एका दुकानदारास १५% नफा होतो, तर त्या सायकलीची खरेदी किंमत किती होती?
उकल:
- सूत्र: $CP = SP \times \frac{१००}{१०० + \text{नफा}\%}$
- येथे $SP = ३,४५०$ आणि नफा $= १५\%$. $$CP = ३,४५० \times \frac{१००}{११५}$$
- $३,४५० \div ११५ = ३०$. $$CP = ३० \times १०० = \mathbf{₹ ३,०००}$$
उत्तर: त्या सायकलीची खरेदी किंमत ₹ ३,००० होती.
उदाहरण २ (समान विक्री किंमत व नफा-तोटा समतोल):
प्रश्न: एका व्यापाऱ्याने दोन घोडे प्रत्येकी ₹ १९,२०० ला विकले. एका घोड्यावर त्याला २०% नफा झाला आणि दुसऱ्या घोड्यावर २०% तोटा झाला. तर संपूर्ण व्यवहारात त्याला एकूण किती टक्के नफा किंवा तोटा झाला, आणि किती रुपयांचा तोटा झाला?
उकल:
- शेकडा तोटा सूत्र: $$\text{शेकडा तोटा} = \frac{x^२}{१००}\% = \frac{२०^२}{१००}\% = \frac{४००}{१००}\% = \mathbf{४\% \text{ तोटा}}$$
- रुपयांमध्ये तोटा काढणे:
एकूण विक्री किंमत $= १९,२०० + १९,२०० = \mathbf{₹ ३८,४००}$.
व्यवहारात ४% तोटा झाला, म्हणजेच ही विक्री किंमत मूळ किमतीच्या $९६\%$ आहे.
$$९६\% = ३८,४०० \implies १\% = \frac{३८,४००}{९६} = ४००$$
$$\text{एकूण तोटा (४\%)} = ४ \times ४०० = \mathbf{₹ १,६००}$$.
उत्तर: व्यापाऱ्याला संपूर्ण व्यवहारात ४% तोटा (₹ १,६०० तोटा) झाला.
उदाहरण ३ (सूट देऊन नफा कमवणे - MP / CP Ratio Trick):
प्रश्न: एका वस्तूची खरेदी किंमत ₹ ८०० आहे. त्यावर १०% सूट देऊनही दुकानदारास २०% नफा कमवायचा असल्यास त्याने वस्तूवर किती रुपये छापील किंमत ठेवावी?
उकल (सुपरफास्ट गुणोत्तर पद्धत):
- सुवर्ण सूत्र: $\frac{MP}{CP} = \frac{१०० + \text{नफा}\%}{१०० - \text{सूट}\%}$
- $$\frac{MP}{८००} = \frac{१०० + २०}{१०० - १०} = \frac{१२०}{९०} = \frac{४}{३}$$
- $$MP = ८०० \times \frac{४}{३} = \frac{३,२००}{३} \approx \mathbf{₹ १,०६६.६७}$$
- (जर खरेदी किंमत ₹ ९०० घेतली: $\frac{MP}{९००} = \frac{४}{३} \implies MP = ३०० \times ४ = \mathbf{₹ १,२००}$).
उत्तर: छापील किंमत ₹ १,०६६.६७ (म्हणजेच खरेदी किमतीपेक्षा ३३⅓% जास्त) ठेवावी लागेल.
उदाहरण ४ (खोट्या वजनाचा वापर - Dishonest Shopkeeper):
प्रश्न: एक बेईमान दुकानदार वस्तू खरेदी किमतीतच विकण्याचा दावा करतो, परंतु १ किग्रॅ वजनाऐवजी तो ८०० ग्रॅमचे खोटे वजन वापरतो. तर त्याचा प्रत्यक्ष शेकडा नफा किती?
उकल:
- खरे माप $= १,००० \text{ ग्रॅम}$; खोटे माप $= ८०० \text{ ग्रॅम}$.
- वजनात झालेली चोरी (नफा) $= १,००० - ८०० = \mathbf{२०० \text{ ग्रॅम}}$.
- दुकानदाराच्या घरातून प्रत्यक्ष बाहेर पडलेले वजन $= ८०० \text{ ग्रॅम}$ (ही त्याची खरी खरेदी आहे).
- $$\text{शेकडा नफा} = \frac{\text{चोरीचे ग्रॅम}}{\text{दिलेले ग्रॅम}} \times १०० = \frac{२००}{८००} \times १०० = \frac{१}{४} \times १०० = \mathbf{२५\%}$$
उत्तर: दुकानदाराचा प्रत्यक्ष शेकडा नफा २५% आहे.
४. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे वन-लायनर्स
| क्र. | वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न / संकल्पना | अचूक उत्तर व स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | शेकडा नफा किंवा तोटा नेहमी कशावर काढला जातो? | नेहमी खरेदी किमतीवर (Cost Price) काढला जातो. |
| २ | सूट (Discount) नेहमी कोणत्या किमतीवर दिली जाते? | नेहमी छापील किमतीवर (Marked Price) दिली जाते. |
| ३ | २०% व १०% ची सलग एकल सममूल्य सूट किती? | $२० + १० - \frac{२००}{१००} = \mathbf{२८\%}$. |
| ४ | ५०% + ५०% सलग सूट म्हणजे मोफत वस्तू मिळते का? | नाही! $५० + ५० - २५ = \mathbf{७५\% \text{ सूट}}$ मिळते. |
| ५ | १५ वस्तूंची खरेदी किंमत १२ वस्तूंच्या विक्री किमतीएवढी असल्यास शेकडा नफा किती? | $\frac{१५ - १२}{१२} \times १०० = \frac{३}{१२} \times १०० = \mathbf{२५\% \text{ नफा}}$. |
| ६ | एका वस्तूच्या खरेदी व विक्रीचे गुणोत्तर ४:५ असल्यास शेकडा नफा किती? | $\frac{१}{४} \times १०० = \mathbf{२५\% \text{ नफा}}$. |
| ७ | '४ वस्तू खरेदी करा, १ वस्तू मोफत मिळवा' यामध्ये शेकडा सूट किती? | $\frac{\text{मोफत (१)}}{\text{एकूण वस्तू (५)}} \times १०० = \mathbf{२०\% \text{ सूट}}$. |
| ८ | दोन वस्तू समान किमतीत विकून एकावर १०% नफा व दुसऱ्यावर १०% तोटा झाल्यास निव्वळ काय होते? | नेहमी १% तोटा होतो. |
| ९ | खरेदी किंमत विक्री किमतीच्या ८०% असल्यास शेकडा नफा किती? | $\frac{२०}{८०} \times १०० = \mathbf{२५\% \text{ नफा}}$. |
| १० | दुकानदार खोटे वजन वापरून नफा कसा कमवतो? | ग्राहकाला कमी माल देऊन घरात माल वाचवून. |
| ११ | कमिशन एजंटचे कमिशन वाढल्यास ग्राहकाची किंवा मालकाची मिळकत काय होते? | कमी होते. |
| १२ | छापील किमतीवर २०% सूट दिल्यानंतर वस्तू ₹ ८०० ला विकली, तर छापील किंमत किती? | $८०० \times \frac{१००}{८०} = \mathbf{₹ १,०००}$. |
| १३ | ₹ १० ला ११ केळी खरेदी करून ₹ ११ ला १० केळी विकल्यास शेकडा नफा किती? | $\frac{११^२ - १०^२}{१०^२} \times १०० = \frac{१२१ - १००}{१००} \times १०० = \mathbf{२१\% \text{ नफा}}$. |
| १४ | नफा किंवा तोटा शून्य असण्याची स्थिती काय असते? | $CP = SP$ (ना नफा, ना तोटा स्थिती). |
| १५ | खरेदी किमतीवर वाहतूक खर्च जोडल्यास त्याला काय म्हणतात? | एकूण खरेदी किंमत (Effective CP). |
५. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)
MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन गट ब):
प्रश्न: एका दुकानदाराने एक वस्तू तिच्या छापील किमतीवर २५% सूट देऊन विकली, तरीही त्याला २०% नफा झाला. जर त्या दुकानदाराला त्या व्यवहारात ₹ ९० नफा झाला असेल, तर त्या वस्तूवर दिलेली सूट किती रुपयांची होती?
(१) ₹ १५०
(२) ₹ १८०
(३) ₹ २००
(४) ₹ २२५
उत्तर: (२) ₹ १८०
सखोल स्पष्टीकरण:
१. दुकानदाराचा नफा $= २०\% = ₹ ९०$.
खरेदी किंमत ($CP$) $= ९० \times \frac{१००}{२०} = \mathbf{₹ ४५०}$.
२. विक्री किंमत ($SP$) $= CP + \text{नफा} = ४५० + ९० = \mathbf{₹ ५४०}$.
३. ही विक्री किंमत छापील किमतीवर २५% सूट देऊन मिळाली आहे, म्हणजेच $SP = ७५\% \text{ of } MP$:
$$७५\% = ५४० \implies MP = ५४० \times \frac{१००}{७५} = ५४० \times \frac{४}{३} = १८० \times ४ = \mathbf{₹ ७२०}$$.
४. दिलेली सूट $= MP - SP = ७२० - ५४० = \mathbf{₹ १८०}$.
(पर्यायानुसार अचूक उत्तर पर्याय (२) ₹ १८० आहे).
MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):
प्रश्न: एक व्यापारी खरेदीच्या वेळी १०% वजन जास्त घेतो आणि ग्राहकाला विकताना १०% वजन कमी देतो. तर या संपूर्ण लबाडीच्या व्यवहारात त्याचा प्रत्यक्ष शेकडा नफा किती?
(१) २०%
(२) २१%
(३) $२२\frac{२}{९}\%$
(४) २५%
उत्तर: (३) $२२\frac{२}{९}\%$
सखोल स्पष्टीकरण:
१. समजा ₹ १०० मध्ये १,००० ग्रॅम माल मिळायला हवा.
२. खरेदी करताना १०% जास्त घेतला, म्हणजेच ₹ १०० मध्ये त्याने १,१०० ग्रॅम माल आणला.
३. विकताना १०% कमी वजन दिले, म्हणजेच ₹ १०० मध्ये त्याने केवळ ९०० ग्रॅम माल दिला.
४. आता ₹ १०० मध्ये ९०० ग्रॅम विकतो, तर आणलेला १,१०० ग्रॅम किती रुपयांत विकेल?
$$\text{एकूण विक्री रक्कम} = \frac{१००}{९००} \times १,१०० = \frac{१,१००}{९} = १२२\frac{२}{९} \text{ रुपये}$$.
५. मूळ खरेदी ₹ १०० होती, म्हणून निव्वळ शेकडा नफा $= १२२\frac{२}{९} - १०० = \mathbf{२२\frac{२}{९}\%}$.
(टीप: पारंपारिक पुस्तकात $१० + १० + \frac{१००}{१००} = २१\%$ दिले जाते, परंतु वजनाच्या प्रत्यक्ष गणितात शास्त्रीयदृष्ट्या $२२\frac{२}{९}\%$ हेच उत्तर MPSC व CSAT मध्ये ग्राह्य धरले जाते!).
शेकडेवारी, नफा व तोटा, सूट व कमिशन सराव चाचणी ०४
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.