सरळव्याज (SI) व चक्रवाढव्याज (CI): सूत्रे, दामदुप्पट नियम (Rule of 72) आणि CI-SI फरक शॉर्टकट ट्रिक्स
सरळव्याज (SI) व चक्रवाढव्याज (CI): सूत्रे, दामदुप्पट नियम (Rule of 72) आणि CI-SI फरक शॉर्टकट ट्रिक्स या घटकामध्ये सरळव्याज (Simple Interest, चक्रवाढव्याज (Compound Interest, वर्षांसाठी फरक सूत्र: या मुद्द्यांचा सविस्तर समावेश आहे.
१. सरळव्याज (Simple Interest - SI): मूलभूत संकल्पना व व्याख्या
जेव्हा कर्जाऊ घेतलेल्या मूळ मुद्दलावरच (Principal) प्रत्येक वर्षासाठी ठराविक दराने व्याज आकारले जाते, तेव्हा त्यास सरळव्याज (Simple Interest) म्हणतात. सरळव्याजात प्रत्येक वर्षाचे व्याज समान असते.
मूलभूत प्रमाणित सूत्रे:
$$\mathbf{SI = \frac{P \times N \times R}{१००}}$$ $$\mathbf{\text{रास (Amount - } A) = P + SI = P \left(१ + \frac{N \times R}{१००}\right)}$$येथे:
• $P$ = मुद्दल (Principal)
• $N$ = कालावधी / वर्षे (Time in Years)
• $R$ = व्याजदर दरसाल दरककडा (Rate of Interest % p.a.)
• टीप: मुदत महिन्यात दिल्यास $N = \frac{\text{महिने}}{१२}$; दिवसांत दिल्यास $N = \frac{\text{दिवस}}{३६५}$ (साधारण वर्ष) किंवा $\frac{\text{दिवस}}{३६६}$ (लीप वर्ष) घ्यावे.
२. चक्रवाढव्याज (Compound Interest - CI): व्याजावर व्याज आकारणी
एका वर्षाचे व्याज मुद्दलात मिळवून तयार होणाऱ्या राशीवर पुढील वर्षाचे व्याज आकारण्याच्या पद्धतीस चक्रवाढव्याज (Compound Interest) म्हणतात. म्हणजेच चक्रवाढव्याज हे 'व्याजावर मिळणारे व्याज (Interest on Interest)' असते.
| व्याज आकारणी पद्धत | मुदतीतील बदल ($N$) | दरातील बदल ($R$) | चक्रवाढ रास सूत्र (Amount Formula) |
|---|---|---|---|
| वार्षिक आकारणी (Annually) | $N$ वर्षे | $R\%$ | $$\mathbf{A = P \left(१ + \frac{R}{१००}\right)^N}$$ |
| अर्धवार्षिक आकारणी (Half-Yearly / ६ महिने) | $२N$ (मुदत दुप्पट होते) | $\frac{R}{२}\%$ (दर अर्धा होतो) | $$\mathbf{A = P \left(१ + \frac{R/२}{१००}\right)^{२N}}$$ |
| त्रैमासिक आकारणी (Quarterly / ३ महिने) | $४N$ (मुदत चारपट होते) | $\frac{R}{४}\%$ (दर पावपट होतो) | $$\mathbf{A = P \left(१ + \frac{R/४}{१००}\right)^{४N}}$$ |
| दरवर्षी भिन्न व्याजदर असल्यास | १ ला वर्ष $R_१$, २ रे वर्ष $R_२$, ३ रे वर्ष $R_३$ | भिन्न दर | $$\mathbf{A = P \left(१ + \frac{R_१}{१००}\right)\left(१ + \frac{R_२}{१००}\right)\left(१ + \frac{R_३}{१००}\right)}$$ |
| अपूर्णांक वर्षे असल्यास (उदा. $२\frac{३}{५}$ वर्षे) | २ पूर्ण वर्षे व $\frac{३}{५}$ वर्ष | $R\%$ आणि $\frac{३}{५}R\%$ | $$\mathbf{A = P \left(१ + \frac{R}{१००}\right)^२ \times \left(१ + \frac{\frac{३}{५}R}{१००}\right)}$$ (वार्षिक चक्रवाढ आकारणी असताना अपूर्ण वर्षासाठी सरळव्याज पद्धतीचा वापर ही स्पर्धा परीक्षांमधील रूढ व सर्वमान्य convention/पद्धत आहे). |
३. CI आणि SI फरक व दामदुप्पट शॉर्टकट सुवर्ण सूत्रे
| नियम / संकल्पना | शॉर्टकट गणिती सूत्र | स्पष्टीकरण व परीक्षा टीप |
|---|---|---|
| २ वर्षांतील CI व SI मधील फरक ($D_२$) | $$\mathbf{D_२ = P \left(\frac{R}{१००}\right)^२ = \frac{P \cdot R^२}{१०,०००}}$$ | स्पर्धा परीक्षेतील सर्वात जास्त विचारले जाणारे सूत्र! फरक आणि दर दिला असता मुद्दल थेट काढता येते: $P = D_२ \times \left(\frac{१००}{R}\right)^२$. |
| ३ वर्षांतील CI व SI मधील फरक ($D_३$) | $$\mathbf{D_३ = P \left(\frac{R}{१००}\right)^२ \left(३ + \frac{R}{१००}\right) = \frac{P \cdot R^२ (३०० + R)}{१००^३}}$$ | किंवा गुणोत्तर संबंध: $\mathbf{\frac{D_३}{D_२} = \frac{३०० + R}{१००}}$. |
| सरळव्याजाने दामदुप्पट / दामतिप्पट नियम (Strictly for Simple Interest) | $$\mathbf{N \times R = (n - १) \times १००}$$ | • दामदुप्पट ($n=२$): $N \times R = १००$. • दामतिप्पट ($n=३$): $N \times R = २००$. • दामपाचपट ($n=५$): $N \times R = ४००$. |
| सरळव्याजाने दुहेरी मुदत तुलना | $$\mathbf{\frac{T_१}{T_२} = \frac{n_१ - १}{n_२ - १}}$$ | जर रक्कम $T_१$ वर्षांत $n_१$ पट होते, तर $T_२$ वर्षांत $n_२$ पट होईल. |
| चक्रवाढव्याजाने दामदुप्पट नियम | जर रक्कम $T$ वर्षांत $n$ पट होत असेल, तर $k \times T$ वर्षांत $n^k$ पट होईल. | उदा. ५ वर्षांत दुप्पट $\implies १५$ वर्षांत ($३ \times ५$ वर्षे) $= २^३ = \mathbf{८ \text{ पट}}$ होईल. |
| Rule of 72 (दामदुप्पट अंदाज) | $$\text{दुप्पट होण्यासाठी वर्षे} \approx \frac{७२}{R}$$ | चक्रवाढव्याजाने रक्कम दुप्पट होण्यासाठी लागणारे अंदाजे वर्षे (उदा. दर ८% असल्यास $\approx ७२/८ = ९ \text{ वर्षे}$). |
४. चक्रवाढ व्याजाची सुपरफास्ट 'रेशो पद्धत' (Golden Ratio Trick)
मोठी घातांकी सूत्रे न वापरता पास्कल त्रिकोणावर आधारित रेशो ट्रिकने चक्रवाढ व्याज अवघ्या काही सेकंदांत काढता येते:
- २ वर्षांसाठी कोड: २ : १
• $P$ चा $R\%$ काढा $= A$.
• $A$ चा पुन्हा $R\%$ काढा $= B$.
$$\mathbf{CI = २(A) + १(B)}$$ (येथे $२A$ हे सरळव्याज असते आणि $१B$ हा २ वर्षांतील फरक असतो!). - ३ वर्षांसाठी कोड: ३ : ३ : १
• पायरी १: $P$ चा $R\% = A$.
• पायरी २: $A$ चा $R\% = B$.
• पायरी ३: $B$ चा $R\% = C$.
$$\mathbf{CI = ३(A) + ३(B) + १(C)}$$ (येथे $३A$ = सरळव्याज आणि $३B + १C$ = ३ वर्षांतील फरक!).
५. सविस्तर सोडवलेली आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Problems)
उदाहरण १ (Basic - सरळव्याज व दामदुप्पट):
प्रश्न: दरसाल दरककडा किती दराने कोणतीही रक्कम सरळव्याजाने ८ वर्षांत दामदुप्पट होईल?
उकल:
- दामदुप्पट सूत्र: $N \times R = (n - १) \times १००$
- येथे $N = ८ \text{ वर्षे}$ आणि $n = २$ (दामदुप्पट). $$८ \times R = (२ - १) \times १००$$ $$८ \times R = १०० \implies R = \frac{१००}{८} = \mathbf{१२.५\%}$$
उत्तर: व्याजाचा दर दरसाल दरककडा १२.५% असावा.
उदाहरण २ (२ वर्षांतील फरक सूत्र - MPSC & TCS Favorite):
प्रश्न: एका रकमेचे दरसाल दरककडा १०% दराने २ वर्षांतील चक्रवाढव्याज आणि सरळव्याज यांमधील फरक ₹ ६५ आहे, तर ती मुद्दल रक्कम किती?
उकल (थेट फरक सूत्र):
- सूत्र: $D_२ = P \left(\frac{R}{१००}\right)^२$
- येथे $D_२ = ६५$ आणि $R = १०\%$. $$६५ = P \times \left(\frac{१०}{१००}\right)^२$$ $$६५ = P \times \left(\frac{१}{१०}\right)^२ = P \times \frac{१}{१००}$$
- $$P = ६५ \times १०० = \mathbf{₹ ६,५००}$$
उत्तर: ती मुद्दल रक्कम ₹ ६,५०० आहे.
उदाहरण ३ (रेशो ट्रिकने ३ वर्षांचे चक्रवाढव्याज काढणे):
प्रश्न: ₹ ८,००० मुद्दलावर दरसाल दरककडा ५% दराने ३ वर्षांचे चक्रवाढव्याज किती होईल?
उकल (३ : ३ : १ रेशो पद्धत):
- $A = ८,००० \text{ चे } ५\% = ८० \times ५ = \mathbf{४००}$
- $B = ४०० \text{ चे } ५\% = ४ \times ५ = \mathbf{२०}$
- $C = २० \text{ चे } ५\% = \frac{२० \times ५}{१००} = \mathbf{१}$
- ३ वर्षांचा कोड $(३ : ३ : १)$ लावू: $$CI = ३(A) + ३(B) + १(C)$$ $$CI = ३(४००) + ३(२०) + १(१)$$ $$CI = १,२०० + ६० + १ = \mathbf{₹ १,२६१}$$
उत्तर: ३ वर्षांचे चक्रवाढव्याज ₹ १,२६१ होईल. (रास $= ८,००० + १,२६१ = \mathbf{₹ ९,२६१}$).
उदाहरण ४ (चक्रवाढव्याजाने रक्कम पट होणे):
प्रश्न: एक रक्कम चक्रवाढव्याजाने ४ वर्षांत दुप्पट होते, तर तीच रक्कम त्याच व्याजदराने १६ पट होण्यासाठी किती वर्षे लागतील?
उकल:
- चक्रवाढव्याजात रक्कम भूमिती श्रेणीने (Exponentially) वाढते:
• ४ वर्षे $\rightarrow २^१ = २ \text{ पट}$
• १६ पट हवी आहे $\implies १६ = २^४$. - येथे घातांक $k = ४$ आला आहे. $$\text{एकूण वर्षे} = k \times \text{मूळ मुदत} = ४ \times ४ = \mathbf{१६ \text{ वर्षे}}$$
उत्तर: ती रक्कम १६ पट होण्यासाठी १६ वर्षे लागतील.
६. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे वन-लायनर्स
| क्र. | वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न / संकल्पना | अचूक उत्तर व स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | पहिल्या वर्षासाठी सरळव्याज व चक्रवाढव्याज यांमध्ये किती फरक असतो? | काहीही नाही (फरक ० असतो), दोन्ही समान असतात. |
| २ | २ वर्षांतील CI आणि SI मधील फरक कोणत्या सूत्राने काढतात? | $\mathbf{P(R/१००)^२}$. |
| ३ | दामदुप्पट होण्यासाठी लागणारा कालावधी व दर यांचा गुणाकार किती असतो? | नेहमी १०० ($N \times R = १००$). |
| ४ | दामतिप्पट होण्यासाठी $N \times R$ चे मूल्य किती असावे? | नेहमी २००. |
| ५ | अर्धवार्षिक चक्रवाढव्याज आकारणीत व्याजदर काय होतो? | व्याजदर अर्धा ($R/२$) होतो आणि मुदत दुप्पट ($२N$) होते. |
| ६ | त्रैमासिक व्याज आकारणीत मुदतीत काय बदल होतो? | मुदत चारपट ($४N$) होते आणि दर चतुर्थांश ($R/४$) होतो. |
| ७ | दरसाल दरककडा १०% दराने ₹ १,००० चे २ वर्षांचे सरळव्याज किती? | $१,००० \times २ \times १० / १०० = \mathbf{₹ २००}$. |
| ८ | दरसाल दरशेकडा १०% दराने ₹ १,००० चे २ वर्षांचे चक्रवाढव्याज किती? | २ वर्षांचे SI = ₹ २००, व पहिल्या वर्षाच्या ₹ १०० व्याजावर १०% व्याज = ₹ १०; म्हणून एकूण CI = ₹ २०० $+$ ₹ १० $= \mathbf{₹ २१०}$. |
| ९ | २ वर्षांसाठी CI व SI चा फरक ₹ १० व दर १०% असल्यास मुद्दल किती? | $१० \times (१००/१०)^२ = १० \times १०० = \mathbf{₹ १,०००}$. |
| १० | रक्कम ५ वर्षांत दुप्पट होते, तर सरळव्याजाने किती वर्षांत तिप्पट होईल? | $\frac{५}{T_२} = \frac{२-१}{३-१} \implies T_२ = ५ \times २ = \mathbf{१० \text{ वर्षे}}$. |
| ११ | चक्रवाढव्याज काढताना वापरली जाणारी '३:३:१' ही पद्धत कशावर आधारित आहे? | पास्कल त्रिकोणावर (Binomial Expansion). |
| १२ | सरळव्याज हे कोणत्या श्रेणीत वाढते? | अंकगणिती श्रेणीत (Arithmetic Progression). |
| १३ | चक्रवाढव्याज हे कोणत्या श्रेणीत वाढते? | भूमिती श्रेणीत (Geometric Progression). |
| १४ | Rule of 72 कशासाठी वापरला जातो? | चक्रवाढव्याजाने रक्कम अंदाजे दुप्पट होण्याची वर्षे शोधण्यासाठी. |
| १५ | मुद्दल व रास यांमधील फरक म्हणजे काय? | एकूण व्याज (Interest). |
७. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)
MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन गट ब):
प्रश्न: एका रकमेवर २ वर्षांसाठी दरसाल दरककडा ४% दराने मिळालेले सरळव्याज ₹ ५०० आहे. तर त्याच रकमेवर तेवढ्याच कालावधीसाठी आणि त्याच दराने मिळणारे चक्रवाढव्याज किती असेल?
(१) ₹ ५०५
(२) ₹ ५१०
(३) ₹ ५१५
(४) ₹ ५२०
उत्तर: (२) ₹ ५१०
सखोल स्पष्टीकरण:
१. २ वर्षांचे सरळव्याज ₹ ५०० आहे. सरळव्याज प्रत्येक वर्षी समान असते.
म्हणून पहिल्या वर्षाचे सरळव्याज $= \frac{५००}{२} = \mathbf{₹ २५०}$.
२. चक्रवाढव्याज काढताना दुसऱ्या वर्षी पहिल्या वर्षाच्या व्याजावर (₹ २५० वर) ४% दराने अधिकचे व्याज मिळेल:
अधिकचे व्याज $= २५० \times \frac{४}{१००} = \frac{१,०००}{१००} = \mathbf{₹ १०}$.
३. एकूण चक्रवाढव्याज $= \text{सरळव्याज} + \text{अधिकचे व्याज} = ५०० + १० = \mathbf{₹ ५१०}$.
म्हणून अचूक उत्तर पर्याय (२) ₹ ५१० आहे.
MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):
प्रश्न: दरसाल दरककडा किती टक्के चक्रवाढव्याज दराने ₹ ३२,००० ची रास ९ महिन्यांत ₹ ३७,०४४ होईल, जर व्याज आकारणी त्रैमासिक (Quarterly) पद्धतीने केली जात असेल?
(१) १०%
(२) १५%
(३) २०%
(४) २५%
उत्तर: (३) २०%
सखोल स्पष्टीकरण:
१. कालावधी $= ९ \text{ महिने} = ३ \text{ तिमाह्या}$ ($n = ३$ Quarters).
समजा त्रैमासिक व्याजदर $r\%$ आहे.
२. त्रैमासिक रास सूत्र: $A = P \left(१ + \frac{r}{१००}\right)^३$
$$३७,०४४ = ३२,००० \left(१ + \frac{r}{१००}\right)^३$$
$$\frac{३७,०४४}{३२,०००} = \left(१ + \frac{r}{१००}\right)^३$$
३. दोन्ही संख्यांना ४ ने भागू:
$$\frac{९,२६१}{८,०००} = \left(१ + \frac{r}{१००}\right)^३$$
४. $९,२६१ = २१^३$ आणि $८,००० = २०^३$:
$$\left(\frac{२१}{२०}\right)^३ = \left(१ + \frac{r}{१००}\right)^३ \implies १ + \frac{r}{१००} = \frac{२१}{२०}$$
$$\frac{r}{१००} = \frac{२१}{२०} - १ = \frac{१}{२०} \implies r = \frac{१००}{२०} = \mathbf{५\% \text{ (त्रैमासिक दर)}}$$
५. हा त्रैमासिक दर आहे. म्हणून वार्षिक दर (दरसाल दरककडा):
$$R = ४ \times r = ४ \times ५\% = \mathbf{२०\% \text{ p.a.}}$$
म्हणून अचूक वार्षिक व्याजदर २०% आहे.
MPSC सराव प्रश्न ३ (कम्बाइन गट क):
प्रश्न: एका रकमेचे ३ वर्षांचे चक्रवाढव्याज व सरळव्याज यांमधील फरक आणि २ वर्षांचे चक्रवाढव्याज व सरळव्याज यांमधील फरक यांचे गुणोत्तर २५:८ आहे, तर व्याजाचा वार्षिक दर किती?
(१) ९%
(२) १०%
(३) १२%
(४) १२.५%
उत्तर: (४) १२.५%
सखोल स्पष्टीकरण:
१. ३ वर्षे व २ वर्षांच्या फरकाचे गुणोत्तर सूत्र:
$$\frac{D_३}{D_२} = \frac{३०० + R}{१००}$$
२. दिलेले गुणोत्तर $= \frac{२५}{८}$:
$$\frac{३०० + R}{१००} = \frac{२५}{८}$$
$$३०० + R = \frac{२५ \times १००}{८} = \frac{२,५००}{८} = ३१२.५$$
$$R = ३१२.५ - ३०० = \mathbf{१२.५\%}$$
म्हणून व्याजाचा वार्षिक दर १२.५% आहे.
सरळव्याज व चक्रवाढव्याज सराव चाचणी ०५
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.