क्षेत्रमिती (Mensuration): २D आकृत्या (त्रिकोण, चौकोन, वर्तुळ) व ३D आकृत्या (घन, वृत्तचिती, शंकू, गोल) पृष्ठफळ-घनफळ सूत्रे
क्षेत्रमिती (Mensuration): २D आकृत्या (त्रिकोण, चौकोन, वर्तुळ) व ३D आकृत्या (घन, वृत्तचिती, शंकू, गोल) पृष्ठफळ-घनफळ सूत्रे या घटकामध्ये काटकोन त्रिकोण, समभुज त्रिकोण, चौरस (Square) या मुद्द्यांचा सविस्तर समावेश आहे.
१. द्विमितीय आकृत्यांचे क्षेत्रफळ व परिमिती (2D Mensuration Master Formulas)
द्विमितीय (2D) भूमितीय आकृत्यांमध्ये लांबी व रुंदी या दोनच मिती असतात. यामध्ये क्षेत्रफळ (आकृतीने व्यापलेली जागा - चौरस एकक) आणि परिमिती (सर्व बाजूंच्या लांबींची बेरीज - एकक) यांचा अभ्यास केला जातो.
| आकृती (2D Shape) | क्षेत्रफळ (Area) | परिमिती (Perimeter) | विशेष सूत्रे व महत्त्वाचे गुणधर्म |
|---|---|---|---|
| काटकोन त्रिकोण (Right Triangle) | $$\frac{१}{२} \times \text{पाया} \times \text{उंची}$$ | पाया $+$ उंची $+$ कर्ण | पायथागोरस सिद्धांत: $\text{कर्ण}^२ = \text{पाया}^२ + \text{उंची}^२$. • मूलभूत त्रिकुटे: (३,४,५), (५,१२,१३), (७,२४,२५), (८,१५,१७), (९,४०,४१), (२०,२१,२९). |
| समभुज त्रिकोण (Equilateral Triangle) | $$\mathbf{\frac{\sqrt{३}}{४} a^२}$$ | $$३a$$ | • उंची $(h) = \frac{\sqrt{३}}{२} a$ • अंतर्वर्तुळ त्रिज्या $r = \frac{a}{२\sqrt{३}}$ • परिवर्तुळ त्रिज्या $R = \frac{a}{\sqrt{३}}$ ($R = २r$). |
| कोणताही त्रिकोण (Heron's Formula) | $$\mathbf{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$ | $$a + b + c$$ | अर्धपरिमिती $s = \frac{a + b + c}{२}$ (तीनही बाजू $a, b, c$ ज्ञात असलेल्या कोणत्याही त्रिकोणाचे — विषमभुज, समद्विभुज किंवा समभुज — क्षेत्रफळ काढण्याचे हे वैश्विक सूत्र आहे). |
| चौरस (Square) | $$\text{बाजू}^२ = a^२ \quad \text{किंवा} \quad \mathbf{\frac{१}{२} d^२}$$ | $$४a$$ | • कर्ण $(d) = a\sqrt{२} \implies a = \frac{d}{\sqrt{२}}$ • चारही कोन काटकोन व कर्ण परस्परांना लंबरूप दुभागतात. |
| आयत (Rectangle) | $$l \times b$$ (लांबी × रुंदी) | $$२(l + b)$$ | • कर्ण $(d) = \sqrt{l^२ + b^२}$ • बाहेरून $w$ मीटर रुंदीचा रस्ता असल्यास रस्त्याचे क्षेत्रफळ $= २w(l + b + २w)$ • आतून रस्ता असल्यास $= २w(l + b - २w)$. |
| समभुज चौकोन (Rhombus) | $$\mathbf{\frac{१}{२} \times d_१ \times d_२}$$ | $$४a$$ | कर्ण परस्परांना काटकोनात दुभागतात: $a = \frac{१}{२}\sqrt{d_१^२ + d_२^२}$ किंवा $४a^२ = d_१^२ + d_२^२$. |
| समलंब चौकोन (Trapezium) | $$\mathbf{\frac{१}{२} \times (a + b) \times h}$$ | सर्व बाजूंची बेरीज | $\frac{१}{२} \times (\text{समांतर बाजूंची बेरीज}) \times \text{समांतर बाजूंमधील लंबरूप अंतर}$. |
| वर्तुळ (Circle) | $$\pi r^२ = \frac{\pi d^२}{४}$$ | परीघ $= २\pi r = \pi d$ | $\pi \approx \frac{२२}{७} \approx ३.१४१६$. |
| अर्धवर्तुळ (Semicircle) | $$\frac{\pi r^२}{२}$$ | $$\mathbf{(\pi + २)r \approx \frac{३६}{७}r}$$ | अर्धवर्तुळाची तंतोतंत परिमिती $= \text{अर्धा परीघ} + \text{व्यास} = \pi r + २r = (\pi + २)r$. जेव्हा $\pi \approx \frac{२२}{७}$ ही अंदाजे किंमत घेतली जाते, तेव्हा परिमिती $\approx \frac{३६}{७}r$ होते (अंदाजे मूल्य). |
| वर्तुळ पाकळी (Sector of Circle) | $$\frac{\theta}{३६०} \times \pi r^२$$ | $$\text{कंसाची लांबी} + २r$$ | कंसाची लांबी $(l) = \frac{\theta}{३६०} \times २\pi r \implies \text{क्षेत्रफळ} = \frac{१}{२} \times l \times r$. |
| कंकणाकृती वर्तुळ (Circular Ring) | $$\pi(R^२ - r^२)$$ | - | बाह्य त्रिज्या $R$ आणि अंतर्गोल त्रिज्या $r$ यांमधील पट्ट्याचे क्षेत्रफळ. |
२. त्रिमितीय आकृत्यांचे पृष्ठफळ व घनफळ (3D Mensuration Master Formulas)
त्रिमितीय (3D) वस्तूंमध्ये लांबी, रुंदी आणि उंची या तीन मिती असतात. घनफळ (Volume) म्हणजे वस्तूने अवकाशात व्यापलेली एकूण जागा (घन एकक), तर पृष्ठफळ म्हणजे तिच्या बाहेरील सर्व पृष्ठांचे एकूण क्षेत्रफळ.
| त्रिमितीय आकार (3D Solid) | वक्रपृष्ठफळ / पार्श्वपृष्ठफळ (Curved/Lateral SA) | एकूण पृष्ठफळ (Total Surface Area) | घनफळ (Volume) |
|---|---|---|---|
| इष्टिकाचिती (Cuboid) | $$२h(l + b)$$ (४ भिंतींचे क्षेत्रफळ) | $$२(lb + bh + lh)$$ | $$l \times b \times h$$ • खोलीत बसणारी सर्वात लांब काठी (कर्ण) $= \mathbf{\sqrt{l^२ + b^२ + h^२}}$. |
| घन (Cube) | $$४a^२$$ (४ उभ्या पृष्ठांचे क्षेत्रफळ) | $$६a^२$$ | $$a^३$$ • घनाचा मुख्य कर्ण $= \mathbf{a\sqrt{३}}$. |
| वृत्तचिती / दंडगोल (Cylinder) | $$\mathbf{२\pi rh}$$ | $$\mathbf{२\pi r(r + h)}$$ | $$\mathbf{\pi r^२ h}$$ |
| पोकळ वृत्तचिती (Hollow Cylinder) | $$२\pi h(R + r)$$ | $$२\pi h(R + r) + २\pi(R^२ - r^२)$$ | $$\pi(R^२ - r^२)h$$ |
| शंकू (Cone) | $$\mathbf{\pi rl}$$ (तिरकस उंची $l = \sqrt{r^२ + h^२}$) | $$\mathbf{\pi r(l + r)}$$ | $$\mathbf{\frac{१}{३}\pi r^२ h}$$ • समान त्रिज्या व उंचीच्या वृत्तचितीच्या एक-तृतीयांश शंकूचे घनफळ असते! |
| गोल (Sphere) | $$४\pi r^२$$ | $$४\pi r^२$$ (वक्र व एकूण एकच असते) | $$\mathbf{\frac{४}{३}\pi r^३}$$ |
| अर्धगोल (Hemisphere) | $$\mathbf{२\pi r^२}$$ | $$\mathbf{३\pi r^२}$$ (तळाचे वर्तुळ मिळवून) | $$\mathbf{\frac{२}{३}\pi r^३}$$ |
वस्तू वितळवून नवीन वस्तू बनवण्याचा नियम (Melting & Recasting Principle):
जेव्हा एका घन वस्तूला वितळवून दुसऱ्या आकाराच्या $n$ वस्तू बनवल्या जातात, तेव्हा दोन्ही बाजूंचे एकूण घनफळ नेहमी समान (स्थिर) राहते:
$$\mathbf{\text{मोठ्या वस्तूचे घनफळ} = n \times \text{एका लहान वस्तूचे घनफळ}}$$
$$\mathbf{n = \frac{\text{मोठ्या वस्तूचे घनफळ}}{\text{एका लहान वस्तूचे घनफळ}}}$$
३. सविस्तर सोडवलेली आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Problems)
उदाहरण १ (समभुज त्रिकोण व अंतर्वर्तुळ):
प्रश्न: एका समभुज त्रिकोणाची बाजू १२ सेमी आहे. तर (अ) त्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ, (ब) त्याची उंची आणि (क) त्याच्या अंतर्वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
उकल:
- येथे बाजू $a = १२ \text{ सेमी}$.
- (अ) क्षेत्रफळ: $$\text{क्षेत्रफळ} = \frac{\sqrt{३}}{४} a^२ = \frac{\sqrt{३}}{४} \times १२^२ = \frac{\sqrt{३}}{४} \times १४४ = \mathbf{३६\sqrt{३} \text{ चौ.सेमी}}$$
- (ब) उंची: $$h = \frac{\sqrt{३}}{२} a = \frac{\sqrt{३}}{२} \times १२ = \mathbf{६\sqrt{३} \text{ सेमी}}$$
- (क) अंतर्वर्तुळाची त्रिज्या ($r$): $$r = \frac{a}{२\sqrt{३}} = \frac{१२}{२\sqrt{३}} = \frac{६}{\sqrt{३}} = \frac{६\sqrt{३}}{३} = \mathbf{२\sqrt{३} \text{ सेमी}}$$
उत्तर: क्षेत्रफळ $= ३६\sqrt{३} \text{ चौ.सेमी}$, उंची $= ६\sqrt{३} \text{ सेमी}$, त्रिज्या $= २\sqrt{३} \text{ सेमी}$.
उदाहरण २ (समभुज चौकोन कर्ण व बाजू - Rhombus):
प्रश्न: एका समभुज चौकोनाचे कर्ण अनुक्रमे १६ सेमी आणि १२ सेमी आहेत. तर त्या समभुज चौकोनाची बाजू आणि परिमिती किती?
उकल:
- समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना लंबरूप दुभागतात, त्यामुळे चार काटकोन त्रिकोण तयार होतात.
- कर्णाची निमपट: $\frac{१६}{२} = ८ \text{ सेमी}$ आणि $\frac{१२}{२} = ६ \text{ सेमी}$.
- काटकोन त्रिकोणात पायथागोरस सिद्धांत वापरू: $$\text{बाजू}^२ (a^२) = ८^२ + ६^२ = ६४ + ३६ = १००$$ $$a = \sqrt{१००} = \mathbf{१० \text{ सेमी}}$$
- परिमिती $= ४a = ४ \times १० = \mathbf{४० \text{ सेमी}}$.
- (क्षेत्रफळ $= \frac{१}{२} \times १६ \times १२ = ९६ \text{ चौ.सेमी}$).
उत्तर: समभुज चौकोनाची बाजू १० सेमी व परिमिती ४० सेमी आहे.
उदाहरण ३ (गोल वितळवून लहान गोळ्या बनवणे - 3D Volume Conservation):
प्रश्न: ६ सेमी त्रिज्या असणारा धातूचा एक भरीव गोल वितळवून २ सेमी त्रिज्येच्या किती लहान भरीव गोळ्या तयार करता येतील?
उकल:
- लहान गोळ्यांची संख्या $= n = \frac{\text{मोठ्या गोलाचे घनफळ}}{\text{एका लहान गोळीचे घनफळ}}$
- $$n = \frac{\frac{४}{३}\pi R^३}{\frac{४}{३}\pi r^३} = \frac{R^३}{r^३} = \left(\frac{R}{r}\right)^३$$
- येथे $R = ६ \text{ सेमी}$ आणि $r = २ \text{ सेमी}$: $$n = \left(\frac{६}{२}\right)^३ = ३^३ = \mathbf{२७ \text{ गोळ्या}}$$
उत्तर: एकूण २७ लहान गोळ्या तयार होतील.
उदाहरण ४ (खोलीत बसणारी सर्वात लांब काठी - Cuboid Diagonal):
प्रश्न: एका खोलीची लांबी १२ मीटर, रुंदी ९ मीटर आणि उंची ८ मीटर आहे. तर त्या खोलीत ठेवता येणाऱ्या सर्वात लांब बांबूची / काठीची लांबी किती असू शकेल?
उकल:
- खोलीतील सर्वात लांब काठी म्हणजे त्या इष्टिकाचितीचा कर्ण (Diagonal) होय.
- कर्णाचे सूत्र: $d = \sqrt{l^२ + b^२ + h^२}$
- $$d = \sqrt{१२^२ + ९^२ + ८^२} = \sqrt{१४४ + ८१ + ६४} = \sqrt{२८९} = \mathbf{१७ \text{ मीटर}}$$
उत्तर: त्या खोलीत ठेवता येणाऱ्या सर्वात लांब बांबूची लांबी १७ मीटर असेल.
४. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे वन-लायनर्स
| क्र. | वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न / संकल्पना | अचूक उत्तर व स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्याचे सूत्र काय? | $\frac{\sqrt{३}}{४} a^२$. |
| २ | चौरसाचा कर्ण बाजूच्या किती पट असतो? | $\sqrt{२}$ पट ($d = a\sqrt{२}$). |
| ३ | घनाचा मुख्य कर्ण बाजूच्या किती पट असतो? | $\sqrt{३}$ पट ($d = a\sqrt{३}$). |
| ४ | अर्धवर्तुळाची परिमिती काढण्याचे सर्वात अचूक सूत्र कोणते? | $(\pi + २)r$ किंवा $\frac{३६}{७}r$. |
| ५ | एका वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती पट होईल? | ४ पट ($२^२ = ४$). |
| ६ | एका वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास त्याचा परीघ किती पट होईल? | २ पट (परीघ त्रिजेच्या समप्रमाणात असतो). |
| ७ | घनाची प्रत्येक बाजू दुप्पट केल्यास त्याचे घनफळ किती पट होईल? | ८ पट ($२^३ = ८$). |
| ८ | शंकूचे घनफळ समान पाया व उंचीच्या वृत्तचितीच्या किती पट असते? | $\frac{१}{३}$ पट (एक-तृतीयांश). |
| ९ | अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ किती असते? | $३\pi r^२$ (वक्रपृष्ठफळ $२\pi r^२ +$ तळाचे वर्तुळ $\pi r^२$). |
| १० | गोलाचे पृष्ठफळ व वक्रपृष्ठफळ यांत काय फरक असतो? | दोन्ही समान असतात ($४\pi r^२$). |
| ११ | हेरॉनच्या सूत्रात '$s$' चा अर्थ काय? | अर्धपरिमिती ($s = \frac{a+b+c}{२}$). |
| १२ | समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कर्णांच्या स्वरूपात काय असते? | $\frac{१}{२} \times d_१ \times d_२$. |
| १३ | १ हेक्टर म्हणजे किती चौरस मीटर? | १०,००० चौरस मीटर ($१०० \text{ मी} \times १०० \text{ मी}$). |
| १४ | १ आर (Are) म्हणजे किती चौरस मीटर? | १०० चौरस मीटर ($१० \text{ मी} \times १० \text{ मी}$). |
| १५ | १ घनमीटर म्हणजे किती लिटर पाणी? | १,००० लिटर ($१ \text{ m}^३ = १,००० \text{ L}$). |
५. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)
MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन पूर्व परीक्षा):
प्रश्न: एका तांब्याच्या गोलाची त्रिज्या ३ सेमी आहे. तो वितळवून ०.२ सेमी व्यास असणारी एक लांब तार तयार करण्यात आली. तर त्या तारेची एकूण लांबी किती मीटर असेल?
(१) २४ मीटर
(२) ३६ मीटर
(३) ४८ मीटर
(४) १०८ मीटर
उत्तर: (२) ३६ मीटर
सखोल स्पष्टीकरण:
१. तार ही एक वृत्तचिती (Cylinder) असते.
तारेचा व्यास $= ०.२ \text{ सेमी} \implies \text{त्रिज्या } r = \frac{०.२}{२} = ०.१ \text{ सेमी} = \frac{१}{१०} \text{ सेमी}$.
२. गोलाची त्रिज्या $R = ३ \text{ सेमी}$.
३. घनफळाचे संतुलन: $\text{गोलाचे घनफळ} = \text{तारेचे (वृत्तचितीचे) घनफळ}$
$$\frac{४}{३}\pi R^३ = \pi r^२ h$$
$$\frac{४}{३} \times (३)^३ = \left(\frac{१}{१०}\right)^२ \times h$$
$$\frac{४}{३} \times २७ = \frac{१}{१००} \times h$$
$$४ \times ९ = \frac{१}{१००} \times h \implies ३६ = \frac{h}{१००} \implies h = ३,६०० \text{ सेमी}$$
४. सेमीचे मीटरमध्ये रूपांतर करू: $\frac{३,६००}{१००} = \mathbf{३६ \text{ मीटर}}$.
म्हणून त्या तारेची एकूण लांबी ३६ मीटर असेल.
MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):
प्रश्न: एका आयताकार बागेची लांबी ६० मीटर आणि रुंदी ४० मीटर आहे. त्या बागेच्या चोहोबाजूंनी बाहेरून ५ मीटर रुंदीचा रस्ता तयार करण्यात आला. तर त्या रस्त्याचे एकूण क्षेत्रफळ किती चौरस मीटर असेल?
(१) १,००० चौ.मी.
(२) १,१०० चौ.मी.
(३) १,२०० चौ.मी.
(४) ९०० चौ.मी.
उत्तर: (२) १,१०० चौ.मी.
सखोल स्पष्टीकरण:
१. बागेचे मूळ क्षेत्रफळ $= ६० \times ४० = \mathbf{२,४०० \text{ चौ.मी.}}$
२. बाहेरून ५ मीटर रस्ता आल्यामुळे नवीन लांबी व रुंदी:
• नवीन लांबी $= ६० + (२ \times ५) = ६० + १० = ७० \text{ मीटर}$.
• नवीन रुंदी $= ४० + (२ \times ५) = ४० + १० = ५० \text{ मीटर}$.
३. रस्त्यासह एकूण क्षेत्रफळ $= ७० \times ५० = \mathbf{३,५०० \text{ चौ.मी.}}$
४. रस्त्याचे क्षेत्रफळ $= \text{एकूण क्षेत्रफळ} - \text{बागेचे क्षेत्रफळ}$:
$$\text{क्षेत्रफळ} = ३,५०० - २,४०० = \mathbf{१,१०० \text{ चौ.मी.}}$$
(थेट शॉर्टकट सूत्र: $२w(l + b + २w) = २(५)(६० + ४० + १०) = १०(११०) = \mathbf{१,१०० \text{ चौ.मी.}}$).
म्हणून रस्त्याचे क्षेत्रफळ १,१०० चौ.मी. आहे.
भूमिती, क्षेत्रमिती व पृष्ठफळ-घनफळ सराव चाचणी ०७
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.