क्रमपरिवर्तन, संयोजन व संभाव्यता (Permutation, Combination & Probability): नाणी, फासे, पत्ते, चेंडू व सराव
क्रमपरिवर्तन, संयोजन व संभाव्यता (Permutations, Combinations & Probability): फॅक्टोरिअल, नाणी, फासे, पत्ते, चेंडू, हस्तांदोलने व MPSC CSAT सराव उदाहरणे.
१. क्रमपरिवर्तन व संयोजन (Permutations & Combinations): मूलभूत संकल्पना
स्पर्धा परीक्षांमध्ये MPSC (राज्यसेवा CSAT, कम्बाइन गट ब व क) आणि TCS-IBPS परीक्षांमध्ये मांडणी (Arrangements) आणि निवड (Selection) यांवर आधारित प्रश्न सातत्याने विचारले जातात. या घटकांचा पाया फॅक्टोरिअल (Factorial) आणि गुणाकाराचे मूलभूत तत्त्व यावर आधारित आहे.
फॅक्टोरिअल संकल्पना ($n!$):
पहिल्या $n$ क्रमवार नैसर्गिक संख्यांच्या गुणाकाराला $n$ फॅक्टोरिअल ($n!$) म्हणतात:
$$n! = n \times (n - १) \times (n - २) \times ... \times ३ \times २ \times १$$
• $०! = \mathbf{१}$ (अतिशय महत्त्वाचे!)
• $१! = १, \quad २! = २, \quad ३! = ६, \quad ४! = २४, \quad ५! = १२०, \quad ६! = ७२०, \quad ७! = ५,०४०$.
| घटक | क्रमपरिवर्तन (Permutation - $^n P_r$) | संयोजन (Combination - $^n C_r$) |
|---|---|---|
| मुख्य अर्थ | घटकांची विशिष्ट क्रमाने केलेली मांडणी (Arrangement). येथे क्रम (Order) अत्यंत महत्त्वाचा असतो. | घटकांची केलेली केवळ निवड किंवा संच (Selection / Group). येथे क्रम महत्त्वाचा नसतो. |
| प्रमाणित सूत्र | $$\mathbf{^n P_r = \frac{n!}{(n - r)!}}$$ | $$\mathbf{^n C_r = \frac{n!}{r!(n - r)!} = \frac{^n P_r}{r!}}$$ |
| उदाहरणे | • शब्दातील अक्षरांपासून नवीन शब्द बनवणे. • अंकांवरून संख्या तयार करणे. • रांगेत व्यक्तींना बसवणे. • अध्यक्ष, उपाध्यक्ष पदांची निवड. |
• समिती (Committee) स्थापन करणे. • ५२ पत्त्यांमधून पत्ते काढणे. • हस्तांदोलन (Handshakes) करणे. • खेळातील सामने खेळणे. |
| महत्त्वाचे गुणधर्म | • $^n P_n = n!$ • $^n P_० = १$ • $^n P_१ = n$ |
• $\mathbf{^n C_r = ^n C_{n - r}}$ (उदा. $^{१०} C_८ = ^{१०} C_२ = \frac{१० \times ९}{२} = ४५$) • $^n C_० = ^n C_n = १$ • $^n C_१ = n$ |
| हस्तांदोलन व सामन्यांचे सूत्र | - | $$\mathbf{\text{हस्तांदोलनांची संख्या} = \frac{n(n - १)}{२} = ^n C_२}$$ |
| वर्तुळाकार मांडणी (Circular) | $$\mathbf{(n - १)!}$$ (फुलांचा हार असल्यास $\frac{(n - १)!}{२}$) | - |
२. संभाव्यता (Probability): नमुना अवकाश व घटना
कोणतीही यादृच्छिक घटना (Random Experiment) घडण्याची शक्यता गणितीय रूपात मोजण्याच्या पद्धतीस संभाव्यता (Probability) म्हणतात.
मूलभूत सुवर्ण सूत्र:
संभाव्यतेचे मूलभूत गुणधर्म:
- कोणत्याही घटनेची संभाव्यता ही ० आणि १ च्या दरम्यानच (किंवा ० ते १००%) असते: $\mathbf{० \le P(A) \le १}$.
- अशक्य घटनेची संभाव्यता (Impossible Event) $= ०$ (उदा. एका फाश्यावर '७' अंक मिळणे).
- निश्चित घटनेची संभाव्यता (Certain Event) $= १$.
- घटना न घडण्याची संभाव्यता: $\mathbf{P(A') = १ - P(A)}$.
३. स्पर्धा परीक्षांमधील संभाव्यतेचे प्रमुख प्रकार (Coins, Dice, Cards & Balls)
| प्रकार (Experiment) | नमुना अवकाश ($n(S)$) | वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न व विश्लेषण |
|---|---|---|
| नाणी फेकणे (Tossing Coins) | • १ नाणे $\implies २^१ = \mathbf{२}$ $\{H, T\}$ • २ नाणी $\implies २^२ = \mathbf{४}$ $\{HH, HT, TH, TT\}$ • ३ नाणी $\implies २^३ = \mathbf{८}$ • $n$ नाणी $\implies \mathbf{२^n}$ |
• किमान १ छापा मिळणे: $१ - P(\text{एकही छापा नाही}) = १ - \frac{१}{४} = \frac{३}{४}$. • बरोबर २ छापे मिळणे. |
| फासे फेकणे (Rolling Dice) | • १ फासा $\implies ६^१ = \mathbf{६}$ $\{१,२,३,४,५,६\}$ • २ फासे $\implies ६^२ = \mathbf{३६}$ |
दोन फाशांच्या वरील अंकांची बेरीज: • बेरीज ७ येणे: ६ जोड्या $\implies \frac{६}{३६} = \frac{१}{६}$. • बेरीज १० किंवा अधिक येणे: (४,६), (५,५), (५,६), (६,४), (६,५), (६,६) $= \frac{६}{३६} = \frac{१}{६}$. |
| पत्त्यांची कॅट (Pack of 52 Cards) | एकूण पत्ते $= \mathbf{५२}$ • लाल पत्ते $= २६$ (१३ बदाम + १३ चौकट) • काळे पत्ते $= २६$ (१३ इस्पिक + १३ किल्लवर) |
• ४ एक्के (Aces), ४ राजे, ४ राण्या, ४ गुलाम. • चित्रयुक्त पत्ते (Face Cards) $= १२$ (४ राजे + ४ राण्या + ४ गुलाम). • एका पत्त्याची निवड: $P(\text{एक्का}) = \frac{४}{५२} = \frac{१}{१३}$. |
| पिशवीतून चेंडू काढणे (Colored Balls) | एकूण चेंडूंची बेरीज $= n(S) = ^N C_r$ | उदा. ५ लाल व ४ पांढऱ्या चेंडूंतून २ चेंडू काढणे: $n(S) = ^९ C_२ = \frac{९ \times ८}{२} = ३६$. दोन्ही लाल येणे $= \frac{^५ C_२}{३६} = \frac{१०}{३६} = \frac{५}{१८}$. |
४. सविस्तर सोडवलेली आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Problems)
उदाहरण १ (हस्तांदोलने - Handshakes Shortcut):
प्रश्न: एका बैठकीत १२ व्यक्ती उपस्थित होत्या. प्रत्येकाने इतरांशी प्रत्येकी एकदाच हस्तांदोलन केले, तर एकूण किती हस्तांदोलने होतील?
उकल (संयोजन सूत्र):
- हस्तांदोलनासाठी कोणत्याही २ व्यक्तींची निवड लागते: $$\text{हस्तांदोलने} = \frac{n(n - १)}{२} = ^{१२} C_२$$
- येथे $n = १२$: $$\text{संख्या} = \frac{१२ \times (१२ - १)}{२} = \frac{१२ \times ११}{२} = ६ \times ११ = \mathbf{६६}$$
उत्तर: त्या बैठकीत एकूण ६६ हस्तांदोलने होतील.
उदाहरण २ (शब्दातील अक्षरांची मांडणी - Permutation of Letters):
प्रश्न: 'BHARAT' या शब्दातील सर्व अक्षरे वापरून किती वेगवेगळे शब्द तयार करता येतील?
उकल:
- 'BHARAT' या शब्दात एकूण अक्षरे $= ६$ ($n = ६$).
- यामध्ये 'A' हे अक्षर २ वेळा आले आहे (पुनरावृत्ती).
- सूत्र: $$\text{एकूण शब्द} = \frac{n!}{p!} = \frac{६!}{२!}$$
- $$= \frac{७२०}{२} = \mathbf{३६० \text{ शब्द}}$$
उत्तर: एकूण ३६० वेगवेगळे शब्द तयार करता येतील.
उदाहरण ३ (फासे व संभाव्यता - Rolling Two Dice):
प्रश्न: दोन फासे एकाच वेळी फेकले असता, दोन्ही फाशांवरील अंकांची बेरीज मूळ संख्या (Prime Number) असण्याची संभाव्यता किती?
उकल:
- दोन फाशांसाठी एकूण नमुना अवकाश $n(S) = ६ \times ६ = \mathbf{३६}$.
- दोन फाशांवरील अंकांची किमान बेरीज २ व कमाल बेरीज १२ असते.
- २ ते १२ मधील मूळ संख्या: २, ३, ५, ७, ११.
- अनुकूल जोड्या शोधू: • बेरीज २: $(१,१) \implies १$ जोडी • बेरीज ३: $(१,२), (२,१) \implies २$ जोड्या • बेरीज ५: $(१,४), (२,३), (३,२), (४,१) \implies ४$ जोड्या • बेरीज ७: $(१,६), (२,५), (३,४), (४,३), (५,२), (६,१) \implies ६$ जोड्या • बेरीज ११: $(५,६), (६,५) \implies २$ जोड्या
- एकूण अनुकूल निष्पत्ती $n(A) = १ + २ + ४ + ६ + २ = \mathbf{१५}$.
- संभाव्यता: $$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{१५}{३६} = \mathbf{\frac{५}{१२}}$$
उत्तर: बेरीज मूळ संख्या असण्याची संभाव्यता $\frac{५}{१२}$ आहे.
उदाहरण ४ (पत्त्यांची कॅट - Drawing Cards):
प्रश्न: ५२ पत्त्यांच्या पिशवीतून चांगल्या प्रकारे पिसलेल्या कॅटमधून एक पत्ता यादृच्छिकपणे काढला असता, तो (अ) राजा असण्याची, आणि (ब) लाल रंगाचा असण्याची संभाव्यता किती?
उकल:
- एकूण पत्ते $n(S) = ५२$.
- (अ) राजा असण्याची संभाव्यता: एकूण राजे $= ४$. $$P(\text{राजा}) = \frac{४}{५२} = \mathbf{\frac{१}{१३}}$$
- (ब) लाल रंगाचा पत्ता असण्याची संभाव्यता: एकूण लाल पत्ते $= २६$ (१३ बदाम + १३ चौकट). $$P(\text{लाल}) = \frac{२६}{५२} = \mathbf{\frac{१}{२}}$$
५. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे वन-लायनर्स
| क्र. | वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न / संकल्पना | अचूक उत्तर व स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | $०!$ (Zero Factorial) चे मूल्य किती असते? | नेहमी १ असते ($०! = १$). |
| २ | १० व्यक्ती एकमेकांशी हस्तांदोलन करतात, एकूण हस्तांदोलने किती? | $\frac{१० \times ९}{२} = \mathbf{४५}$. |
| ३ | संभाव्यतेचे मूल्य नेहमी कोणत्या मर्यादेत असते? | ० ते १ च्या दरम्यान ($० \le P \le १$). |
| ४ | अशक्य घटनेची संभाव्यता किती असते? | नेहमी ० असते. |
| ५ | निश्चित घटनेची संभाव्यता किती असते? | नेहमी १ असते. |
| ६ | एका नाण्यावर छापा ($Head$) मिळण्याची संभाव्यता किती? | $\frac{१}{२}$ (५०%). |
| ७ | ५२ पत्त्यांच्या कॅटमध्ये एकूण चित्रयुक्त पत्ते (Face Cards) किती असतात? | १२ पत्ते (४ राजे, ४ राण्या, ४ गुलाम). |
| ८ | ५२ पत्त्यांतून एक्का मिळण्याची संभाव्यता किती? | $\frac{४}{५२} = \mathbf{\frac{१}{१३}}$. |
| ९ | दोन फासे टाकले असता एकूण किती जोड्या (Outcomes) शक्य असतात? | ३६ ($६ \times ६$). |
| १० | $^{n} C_r$ आणि $^{n} C_{n-r}$ यांमध्ये कोणता संबंध असतो? | दोन्ही नेहमी समान असतात. |
| ११ | ७ खेळाडूंतून ५ खेळाडूंची निवड किती प्रकारे करता येईल? | $^७ C_५ = ^७ C_२ = \frac{७ \times ६}{२} = \mathbf{२१ \text{ प्रकारे}}$. |
| १२ | एका वर्तुळाभोवती ५ व्यक्ती किती प्रकारे बसू शकतात? | $(५ - १)! = ४! = \mathbf{२४ \text{ प्रकारे}}$. |
| १३ | 'CAT' शब्दातील अक्षरांपासून किती शब्द बनतील? | $३! = ३ \times २ \times १ = \mathbf{६ \text{ शब्द}}$. |
| १४ | लीप वर्षात ५३ रविवार असण्याची संभाव्यता किती? | लीप वर्षात २ जास्तीचे दिवस $\implies \mathbf{\frac{२}{७}}$. |
| १५ | साधारण वर्षात ५३ रविवार असण्याची संभाव्यता किती? | साधारण वर्षात १ जास्तीचा दिवस $\implies \mathbf{\frac{१}{७}}$. |
६. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)
MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन पूर्व परीक्षा):
प्रश्न: एका पिशवीत ४ पांढरे, ५ लाल आणि ६ हिरवे चेंडू आहेत. पिशवीतून यादृच्छिकपणे ३ चेंडू काढले असता, सर्वच्या सर्व चेंडू लाल रंगाचे असण्याची संभाव्यता किती?
(१) $\frac{१}{६५}$
(२) $\frac{२}{९१}$
(३) $\frac{३}{९१}$
(४) $\frac{४}{६५}$
उत्तर: (२) $\frac{२}{९१}$
सखोल स्पष्टीकरण:
१. पिशवीतील एकूण चेंडू $= ४ + ५ + ६ = \mathbf{१५ \text{ चेंडू}}$.
२. १५ चेंडूंतून ३ चेंडू काढण्याचे एकूण प्रकार ($n(S)$):
$$n(S) = ^{१५} C_३ = \frac{१५ \times १४ \times १३}{३ \times २ \times १} = ५ \times ७ \times १३ = \mathbf{४५५}$$.
३. काढलेले तीनही चेंडू लाल असावेत ($n(A)$):
एकूण लाल चेंडू ५ आहेत, त्यातून ३ निवडायचे आहेत:
$$n(A) = ^५ C_३ = ^५ C_२ = \frac{५ \times ४}{२ \times १} = \mathbf{१०}$$.
४. संभाव्यता:
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{१०}{४५५}$$
दोन्ही संख्यांना ५ ने भागू:
$$P(A) = \frac{२}{९१}$$
म्हणून अचूक संभाव्यता $\frac{२}{९१}$ आहे.
MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):
प्रश्न: ६ पुरुष आणि ४ महिला यांच्यामधून ५ व्यक्तींची एक समिती निवडायची आहे. या समितीत किमान ३ पुरुष असण्याची संभाव्यता (किंवा प्रकार) किती प्रकारे शक्य आहे?
(१) १८०
(२) १८६
(३) १९२
(४) २४६
उत्तर: (२) १८६
सखोल स्पष्टीकरण:
समितीत किमान ३ पुरुष हवे आहेत. म्हणून खालील तीन पर्याय शक्य आहेत:
• पर्याय १ (३ पुरुष व २ महिला):
$$^६ C_३ \times ^४ C_२ = \left(\frac{६ \times ५ \times ४}{६}\right) \times \left(\frac{४ \times ३}{२}\right) = २० \times ६ = \mathbf{१२०}$$
• पर्याय २ (४ पुरुष व १ महिला):
$$^६ C_४ \times ^४ C_१ = ^६ C_२ \times ४ = १५ \times ४ = \mathbf{६०}$$
• पर्याय ३ (५ पुरुष व ० महिला):
$$^६ C_५ \times ^४ C_० = ६ \times १ = \mathbf{६}$$
एकूण संभाव्य प्रकार $= १२० + ६० + ६ = \mathbf{१८६ \text{ प्रकारे}}$.
म्हणून समिती १८६ प्रकारे निवडली जाऊ शकते.
भूमिती, क्षेत्रमिती व पृष्ठफळ-घनफळ सराव चाचणी ०७
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.