गुणोत्तर, प्रमाण (Ratio & Proportion), समचलन-व्यस्तचलन व भागीदारीतील नफा वाटणी (Partnership)
गुणोत्तर, प्रमाण (Ratio & Proportion), समचलन-व्यस्तचलन व भागीदारीतील नफा वाटणी (Partnership) या घटकामध्ये गुणोत्तर व प्रमाण (Ratio & Proportion), तिहेरी गुणोत्तर जोडणे ($A:B:C$), भागीदारी (Partnership) या मुद्द्यांचा सविस्तर समावेश आहे.
१. गुणोत्तर व प्रमाण (Ratio & Proportion): मूलभूत संकल्पना व नियम
गुणोत्तर म्हणजे दोन समान एकक असलेल्या राशींची भागाकाराने केलेली तुलना होय ($a : b = \frac{a}{b}$). जेव्हा दोन गुणोत्तरे समान असतात तेव्हा त्या चार राशी प्रमाणात असतात ($a : b = c : d$).
| प्रमाणाचा प्रकार | गणिती मांडणी | सूत्र व गुणधर्म |
|---|---|---|
| मूलभूत प्रमाण नियम | $a : b = c : d$ किंवा $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ | अंत्य पदांचा गुणाकार = मध्यम पदांचा गुणाकार ($a \times d = b \times c$). |
| चतुर्थ प्रमाणपद (Fourth Proportional) | $a, b, c$ चे चौथे प्रमाणपद '$x$' | $$x = \frac{b \times c}{a}$$ |
| मध्यम प्रमाणपद / भूमितीमध्य (Mean Proportional) | $a$ आणि $c$ चे मध्यम प्रमाणपद '$b$' | $$b^२ = a \times c \implies b = \sqrt{a \times c}$$ |
| तृतीय प्रमाणपद (Third Proportional) | $a$ आणि $b$ चे तिसरे प्रमाणपद '$c$' | $$c = \frac{b^२}{a}$$ |
| समचलन (Direct Variation) | $x \propto y \implies x = k \cdot y$ | $$\frac{x_१}{y_१} = \frac{x_२}{y_२} = \text{स्थिरांक}$$ (एका राशीत वाढ झाल्यास दुसरी राशीही त्याच प्रमाणात वाढते). |
| व्यस्तचलन (Inverse Variation) | $x \propto \frac{१}{y} \implies x \cdot y = k$ | $$x_१ \times y_१ = x_२ \times y_२ = \text{स्थिरांक}$$ (एक राशी वाढल्यास दुसरी राशी घटते, उदा. वेग व वेळ). |
| गुणोत्तरांचे एकत्रीकरण (Joining Ratios) | जर $A:B = x:y$ आणि $B:C = p:q$ | $$A : B : C = (x \times p) : (y \times p) : (y \times q)$$ (उलटा 'N' पद्धत). |
२. भागीदारी (Partnership): भांडवल व मुदतीनुसार नफा वाटणी सूत्रे
व्यापारात मिळणारा नफा हा गुंतवलेले भांडवल (Capital) आणि गुंतवणुकीचा कालावधी (Time Period) यांच्या एकत्रित गुणाकाराच्या गुणोत्तरात वाटला जातो.
| भागीदारी प्रकार | अट / परिस्थिती | नफा वाटणीचे सूत्र (Profit Ratio) |
|---|---|---|
| साधी भागीदारी (Simple Partnership) | सर्वांचा गुंतवणुकीचा कालावधी समान असल्यास ($T_१ = T_२ = T_३$). | $$\mathbf{P_१ : P_२ = C_१ : C_२}$$ (नफा थेट भांडवलाच्या गुणोत्तरात वाटला जातो). |
| संयुक्त भागीदारी (Compound Partnership) | भांडवल आणि कालावधी दोन्ही भिन्न असल्यास. | $$\mathbf{P_१ : P_२ = (C_१ \times T_१) : (C_२ \times T_२)}$$ (भांडवल × महिन्यांचा गुणाकार करावा). |
| सक्रिय भागीदार (Working Partner) | एखादा भागीदार व्यवसाय व्यवस्थापनासाठी निश्चित मानधन किंवा नफ्यातील टक्केवारी घेतो. | एकूण नफ्यातून आधी सक्रिय भागीदाराचे वेतन वजा करावे; उरलेला नफा भांडवल गुणोत्तरात वाटावा. |
३. वयवारी (Problems on Ages): शॉर्टकट गुणोत्तर पद्धती
- वयवारीचे सुवर्ण तत्त्व (Golden Principle of Ages): दोन व्यक्तींच्या वयांमधील फरक (Age Difference) हा भूतकाळात, वर्तमानात आणि भविष्यात नेहमी समानच (स्थिर) राहतो!
- गुणोत्तर फरक समसमान करण्याची पद्धत (Ratio Difference Trick): उदा. आजचे गुणोत्तर $A:B = ३:४$ आणि ५ वर्षांनंतर $४:५$. येथे दोन्ही गुणोत्तरांमधील फरक $(४-३ = १)$ आणि $(५-४ = १)$ समान आहे. म्हणून १ युनिट $= ५ \text{ वर्षे} \implies A$ चे आजचे वय $= ३ \times ५ = \mathbf{१५ \text{ वर्षे}}$, $B$ चे आजचे वय $= ४ \times ५ = \mathbf{२० \text{ वर्षे}}$. (समीकरण न मांडता ३ सेकंदांत उत्तर!).
४. मिश्रण व संमिश्रण (Alligation & Mixture Rule)
जेव्हा दोन भिन्न किमतीच्या किंवा तीव्रतेच्या वस्तू एका विशिष्ट प्रमाणात मिसळून सरासरी किमतीचे मिश्रण तयार केले जाते, तेव्हा Alligation Rule (क्रॉस पद्धत) वापरली जाते:
| कमी किमतीची वस्तू ($c$) | जास्त किमतीची वस्तू ($d$) | |
|---|---|---|
| सरासरी मूल्य ($m$) | ||
| $(d - m)$ | $(m - c)$ |
वारंवार द्रव बदलण्याचे सूत्र (Repeated Dilution):
एका पात्रात सुरुवातीला $x$ लिटर शुद्ध द्रव (उदा. दूध किंवा दारू) आहे. त्यातून $y$ लिटर काढून तेवढेच पाणी ओतले आणि ही क्रिया एकूण '$n$' वेळा केली, तर शेवटी शिल्लक शुद्ध द्रवाचे प्रमाण:
$$\mathbf{\text{शिल्लक शुद्ध द्रव} = x \left(१ - \frac{y}{x}\right)^n}$$
५. सविस्तर सोडवलेली आदर्श उदाहरणे (Step-by-Step Solved Problems)
उदाहरण १ (गुणोत्तर एकत्रीकरण - Joining Ratios):
प्रश्न: जर $A : B = २ : ३$ आणि $B : C = ४ : ५$ असेल, तर $A : B : C$ आणि $A : C$ चे गुणोत्तर काढा.
उकल:
- उलटा 'N' पद्धत (गुणाकार मांडणी): $$A = २ \times ४ = \mathbf{८}$$ $$B = ३ \times ४ = \mathbf{१२}$$ $$C = ३ \times ५ = \mathbf{१५}$$
- म्हणून $A : B : C = \mathbf{८ : १२ : १५}$.
- $A : C = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{२}{३} \times \frac{४}{५} = \frac{८}{१५} = \mathbf{८ : १५}$.
उदाहरण २ (भागीदारीतील नफा वाटणी - Compound Partnership):
प्रश्न: $A$ ने ₹ ५०,००० भांडवल घालून व्यवसाय सुरू केला. ४ महिन्यांनंतर $B$ ₹ ६०,००० भांडवलासह व्यवसायात सामील झाला. वर्षाच्या शेवटी ₹ ४४,००० नफा झाल्यास $B$ चा नफ्यातील वाटा किती?
उकल:
- $A$ चा कालावधी $= १२ \text{ महिने}$; $B$ चा कालावधी $= १२ - ४ = ८ \text{ महिने}$.
- नफ्याचे गुणोत्तर $= (C_A \times T_A) : (C_B \times T_B)$ $$= (५०,००० \times १२) : (६०,००० \times ८)$$ $$= ६,००,००० : ४,८०,००० = ६० : ४८ = \mathbf{५ : ४}$$
- एकूण भाग $= ५ + ४ = \mathbf{९ \text{ भाग}}$.
- $B$ चा नफ्यातील वाटा: $$B \text{ चा वाटा} = ४४,००० \times \frac{४}{९} = \frac{१,७६,०००}{९} = \mathbf{₹ १९,५५५.५६ \text{ (अंदाजे)}}$$ (टीप: जर परीक्षेत एकूण नफा ₹ ४५,००० दिलेला असेल, तर B चा वाटा $४५,००० \times \frac{४}{९} = \mathbf{₹ २०,०००}$ येतो; परंतु दिलेल्या ₹ ४४,००० नुसार अचूक वाटा ₹ १९,५५५.५६ आहे.)
उत्तर: $B$ चा नफ्यातील वाटा ₹ १९,५५५.५६ (किंवा अंदाजे ₹ १९,५५६) आहे.
उदाहरण ३ (वयवारी शॉर्टकट - Ages Problem):
प्रश्न: वडील व मुलगा यांच्या आजच्या वयांचे गुणोत्तर ७:२ आहे. ५ वर्षांनंतर त्यांच्या वयांचे गुणोत्तर ८:३ होईल, तर वडिलांचे आजचे वय किती?
उकल (३ सेकंद गुणोत्तर पद्धत):
- आजचे गुणोत्तर $= ७ : २$ (फरक $= ७ - २ = ५$).
- ५ वर्षांनंतरचे गुणोत्तर $= ८ : ३$ (फरक $= ८ - ३ = ५$).
- येथे गुणोत्तरातील फरक आधीच समान ($५$) आहे!
- वडील: $७ \rightarrow ८$ (१ युनिट वाढ).
मुलगा: $२ \rightarrow ३$ (१ युनिट वाढ). - ही १ युनिट वाढ म्हणजेच ५ वर्षे होय! $$\mathbf{१ \text{ युनिट} = ५ \text{ वर्षे}}$$
- वडिलांचे आजचे वय $= ७ \text{ युनिट} = ७ \times ५ = \mathbf{३५ \text{ वर्षे}}$.
मुलाचे आजचे वय $= २ \text{ युनिट} = २ \times ५ = \mathbf{१० \text{ वर्षे}}$.
उत्तर: वडिलांचे आजचे वय ३५ वर्षे आहे.
उदाहरण ४ (मिश्रण Alligation Rule - Milk & Water):
प्रश्न: ₹ ६० प्रति किलोचे तांदूळ आणि ₹ ८५ प्रति किलोचे तांदूळ कोणत्या प्रमाणात मिसळावेत म्हणजे तयार झालेल्या मिश्रणाची किंमत ₹ ७० प्रति किलो होईल?
उकल (क्रॉस पद्धत):
- सस्त्याचा भाव ($c$) = ६०, महाग भाव ($d$) = ८५, सरासरी भाव ($m$) = ७०.
- $$d - m = ८५ - ७० = \mathbf{१५}$$
- $$m - c = ७० - ६० = \mathbf{१०}$$
- प्रमाण $= \frac{d - m}{m - c} = \frac{१५}{१०} = \frac{३}{२} = \mathbf{३ : २}$
उत्तर: ते दोन प्रकारचे तांदूळ ३ : २ या प्रमाणात मिसळावेत.
६. पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) विशेष महत्त्वाचे वन-लायनर्स
| क्र. | वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न / संकल्पना | अचूक उत्तर व स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | १२ आणि १८ चे मध्यम प्रमाणपद (Mean Proportional) किती? | $\sqrt{१२ \times १८} = \sqrt{२१६} = \mathbf{६\sqrt{६} \approx १४.७}$ (किंवा ९ व १६ चे विचारल्यास $\sqrt{९ \times १६} = \sqrt{१४४} = \mathbf{१२}$). |
| २ | १६ आणि २४ चे तिसरे प्रमाणपद (Third Proportional) किती? | $\frac{२४ \times २४}{१६} = \frac{५७६}{१६} = \mathbf{३६}$. |
| ३ | ४, ६ आणि ८ चे चौथे प्रमाणपद (Fourth Proportional) किती? | $\frac{६ \times ८}{४} = \mathbf{१२}$. |
| ४ | दोन व्यक्तींच्या वयातील फरक १० वर्षांपूर्वी ५ वर्षे होता, तर आज किती असेल? | नेहमी ५ वर्षेच असेल (फरक कधीही बदलत नाही). |
| ५ | $A$ व $B$ चे गुणोत्तर ३:५ असून त्यांची बेरीज ६४ असल्यास मोठी संख्या कोणती? | १ भाग $= ६४/८ = ८ \implies$ मोठी संख्या $= ५ \times ८ = \mathbf{४०}$. |
| ६ | एका पिशवीत ₹ १, ५० पैसे व २५ पैशांची नाणी समान संख्येत आहेत व एकूण रक्कम ₹ ७० असल्यास प्रत्येक प्रकारची नाणी किती? | एका संचाची किंमत $= १.०० + ०.५० + ०.२५ = १.७५ \implies ७० \div १.७५ = \mathbf{४० \text{ नाणी}}$. |
| ७ | भागीदारीत नफ्याचे गुणोत्तर कशावर अवलंबून असते? | भांडवल × कालावधी (Capital × Time). |
| ८ | व्यस्तचलनात दोन राशींचा काय स्थिर असतो? | त्यांचा गुणाकार ($x \times y = k$) नेहमी स्थिर असतो. |
| ९ | समचलनात दोन राशींचा काय स्थिर असतो? | त्यांचा भागाकार ($\frac{x}{y} = k$) नेहमी स्थिर असतो. |
| १० | दूध व पाण्याचे गुणोत्तर ५:१ आहे, ५ लिटर पाणी टाकल्यास ५:२ होते, तर मूळ दूध किती? | पाणी १ वरून २ झाले ($१ \text{ भाग} = ५ \text{ लिटर}$) $\implies$ दूध $= ५ \times ५ = \mathbf{२५ \text{ लिटर}}$. |
| ११ | पाणी फुकट मानून दुधात पाणी मिसळून खरेदी किमतीत विकल्यास नफा कशावर अवलंबून असतो? | मिसळलेल्या पाण्याच्या शेकडा प्रमाणावर. |
| १२ | वयवारीतील '१० वर्षांपूर्वी' दर्शवण्यासाठी काय करावे? | सध्याच्या वयातून १० वजा करावेत ($x - १०$). |
| १३ | वयवारीतील '१० वर्षांनंतर' दर्शवण्यासाठी काय करावे? | सध्याच्या वयात १० मिळवावेत ($x + १०$). |
| १४ | ₹ १,२०० हे $A, B, C$ मध्ये २:३:५ या प्रमाणात वाटल्यास $B$ चा वाटा किती? | $१,२०० \times \frac{३}{१०} = \mathbf{₹ ३६०}$. |
| १५ | दोन संख्यांचे गुणोत्तर ३:४ असून प्रत्येकात ५ मिळविल्यास ४:५ होते, तर लहान संख्या कोणती? | १ भाग $= ५ \implies$ लहान संख्या $= ३ \times ५ = \mathbf{१५}$. |
७. MPSC राज्यसेवा (CSAT) व कम्बाइन पूर्व परीक्षा सराव प्रश्न (PYQs)
MPSC सराव प्रश्न १ (कम्बाइन पूर्व परीक्षा):
प्रश्न: एका भांड्यात ६० लिटर दूध आहे. त्यातून ६ लिटर दूध काढून तेवढेच पाणी टाकले. हीच प्रक्रिया पुन्हा एकदा करण्यात आली. तर आता त्या भांड्यात किती लिटर शुद्ध दूध शिल्लक राहिले?
(१) ४८.६ लिटर
(२) ५० लिटर
(३) ५२.४ लिटर
(४) ५४ लिटर
उत्तर: (१) ४८.६ लिटर
सखोल स्पष्टीकरण:
१. द्रवाच्या पुनरावृत्तीचे सूत्र:
$$\text{शिल्लक शुद्ध दूध} = x \left(१ - \frac{y}{x}\right)^n$$
येथे मूळ दूध $x = ६० \text{ लिटर}$, काढलेले दूध $y = ६ \text{ लिटर}$, फेऱ्यांची संख्या $n = २$.
२. किमती मांडू:
$$\text{शिल्लक दूध} = ६० \left(१ - \frac{६}{६०}\right)^२ = ६० \left(१ - \frac{१}{१०}\right)^२ = ६० \left(\frac{९}{१०}\right)^२$$
$$= ६० \times \frac{८१}{१००} = \frac{४,८६०}{१००} = \mathbf{४८.६ \text{ लिटर}}.$$
म्हणून भांड्यात ४८.६ लिटर शुद्ध दूध शिल्लक राहील.
MPSC सराव प्रश्न २ (राज्यसेवा CSAT):
प्रश्न: $A, B$ आणि $C$ यांच्या उत्पन्नाचे गुणोत्तर ७:९:१२ असून त्यांच्या खर्चाचे गुणोत्तर ८:९:१५ आहे. जर $A$ आपल्या उत्पन्नाचा $\frac{१}{४}$ भाग बचत करत असेल, तर $A, B$ आणि $C$ यांच्या बचतीचे गुणोत्तर किती?
(१) ५६:९९:६९
(२) ६९:५६:४८
(३) ३३:१९:२३
(४) ५६:६९:९९
उत्तर: (१) ५६:९९:६९
सखोल स्पष्टीकरण:
१. समजा उत्पन्न अनुक्रमे $७x, ९x, १२x$ आणि खर्च अनुक्रमे $८y, ९y, १५y$ आहे.
२. $A$ ची बचत $= \text{उत्पन्न} - \text{खर्च} = ७x - ८y$.
दिलेली अट: बचत $= \frac{१}{४} \times \text{उत्पन्न} \implies ७x - ८y = \frac{१}{४}(७x)$.
$$४(७x - ८y) = ७x \implies २८x - ३२y = ७x \implies २१x = ३२y \implies \frac{x}{y} = \frac{३२}{२१}$$.
३. गणना सोपी होण्यासाठी $x = ३२$ आणि $y = २१$ मानू:
• A ची बचत: $७(३२) - ८(२१) = २२४ - १६८ = \mathbf{५६}$.
• B ची बचत: $९(३२) - ९(२१) = ९(३२ - २१) = ९ \times ११ = \mathbf{९९}$.
• C ची बचत: १२(३२) - १५(२१) = ३८४ - ३१५ = \mathbf{६९}$.
४. बचतीचे गुणोत्तर $= \mathbf{५६ : ९९ : ६९}$.
म्हणून अचूक उत्तर पर्याय (१) आहे.
MPSC सराव प्रश्न ३ (कम्बाइन गट क):
प्रश्न: १० वर्षांपूर्वी $A$ आणि $B$ यांच्या वयांचे गुणोत्तर १३:१७ होते. आजपासून १७ वर्षांनंतर त्यांच्या वयांचे गुणोत्तर १०:११ होईल. तर $B$ चे आजचे वय किती?
(१) २७ वर्षे
(२) ३० वर्षे
(३) ३४ वर्षे
(४) ४० वर्षे
उत्तर: (३) ३४ वर्षे
सखोल स्पष्टीकरण:
१. १० वर्षांपूर्वी व १७ वर्षांनंतर या दोन्ही घटनांमधील एकूण वर्षांचे अंतर $= १० + १७ = \mathbf{२७ \text{ वर्षे}}$.
२. १० वर्षांपूर्वीचे गुणोत्तर $= १३ : १७$ (फरक $= १७ - १३ = ४$).
१७ वर्षांनंतरचे गुणोत्तर $= १० : ११$ (फरक $= ११ - १० = १$).
३. दोन्ही गुणोत्तरांमधील फरक समान करू: दुसऱ्या गुणोत्तराला ४ ने गुणू:
नवीन गुणोत्तर $= (१० \times ४) : (११ \times ४) = \mathbf{४० : ४४}$.
४. आता दोन्ही बाजूंचा बदल तपासू:
$A: १३ \rightarrow ४०$ (२७ युनिट्स वाढ).
$B: १७ \rightarrow ४४$ (२७ युनिट्स वाढ).
५. हे २७ युनिट्स $= २७ \text{ वर्षे} \implies \mathbf{१ \text{ युनिट} = १ \text{ वर्ष}}!$
६. १० वर्षांपूर्वी $B$ चे वय $= १७ \times १ = १७ \text{ वर्षे}$.
म्हणून $B$ चे आजचे वय $= १७ + १० = \mathbf{३४ \text{ वर्षे}}$.
सरासरी, गुणोत्तर-प्रमाण व भागीदारी सराव चाचणी ०३
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.