अशाब्दिक बुद्धिमत्ता (Non-Verbal Reasoning): आकृत्यांची मोजणी, आरसा-पाणी प्रतिमा व फासा (Dice) नियम
अशाब्दिक बुद्धिमत्ता (Non-Verbal Reasoning): आकृत्यांची मोजणी, आरसा-पाणी प्रतिमा व फासा (Dice) नियम या घटकामध्ये फासा / ठोकळा नियम (Dice Rules), आरशातील व पाण्यातील प्रतिमा, त्रिकोणातील त्रिकोण मोजणे: या मुद्द्यांचा सविस्तर समावेश आहे.
🎯 अशाब्दिक बुद्धिमत्ता: आकृत्यांची मोजणी, आरसा-पाणी प्रतिमा व फासा (Cubes & Dice) नियम
अशाब्दिक बुद्धिमत्ता (Non-Verbal Reasoning) हा पोलीस भरती, तलाठी, सरळसेवा आणि MPSC परीक्षेत जलद गुण मिळवून देणारा अत्यंत महत्त्वाचा विभाग आहे. त्रिकोण, चौरस व आयतांची मोजणी सूत्रे, आरशातील व पाण्यातील वर्णमाला बदल, मानक व सामान्य फासा (Standard vs Ordinary Dice) आणि उलगडलेल्या ठोकळ्याचे (Open Dice) अचूक नियम.
अभ्यासक्रम अनुक्रमणिका (Content Index)
१ भौमितिक आकृत्यांची मोजणी: त्रिकोण (Counting of Triangles)
त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूतून पायावर रेषा मारल्याने पायाचे $n$ भाग होत असल्यास:
उदा. पायाचे ४ भाग असल्यास: १+२+३+४ = १० त्रिकोण.
आकृती-विशिष्ट नियम: चौकोनात दोन्ही कर्ण जोडलेले असताना आणि केंद्रबिंदूतून जाणाऱ्या रेषांमुळे तयार होणाऱ्या लहान त्रिकोणांना क्रमांक दिल्यास:
उदा. ८ लहान कप्पे असल्यास: ८ × २ = १६ त्रिकोण.
आकृती-विशिष्ट नियम: एका मोठ्या त्रिकोणात सर्व बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडून n अंतर्भूत उलटे त्रिकोण काढल्यास आत ४n नवीन त्रिकोण तयार होतात:
येथे n = अंतर्भूत त्रिकोणांची संख्या (१ उलटा असल्यास: ४(१)+१ = ५ त्रिकोण).
२ चौरस व आयतांची मोजणी सूत्रे (Counting Squares & Rectangles)
१. चौरस मोजणे (Counting Squares):
सममित ग्रीड (Symmetric n × n Grid):
उदा. ४ × ४ च्या ग्रीडमध्ये: १² + २² + ३² + ४² = १ + ४ + ९ + १६ = ३० चौरस.
असममित ग्रीड (m × n Grid): चौरस = (m × n) + (m-1)(n-1) + ... (एक घटक शून्य होईपर्यंत गुणाकार करून बेरीज करावी).
२. आयत मोजणे (Counting Rectangles):
कोणत्याही m × n ग्रीडमधील एकूण आयत काढण्यासाठी ओळींच्या व स्तंभांच्या क्रमांकांची बेरीज करून त्यांचा गुणाकार करावा:
उदा. ३ × ३ ग्रीडमध्ये: (१+२+३) × (१+२+३) = ६ × ६ = ३६ आयत.
टीप: 'केवळ आयत' (चौरस वगळून) विचारल्यास: एकूण आयत - एकूण चौरस (३६ - १४ = २२).
३ आरशातील व पाण्यातील प्रतिमा (Mirror & Water Images)
| प्रतिमेचा प्रकार | प्रतलाची स्थिती | दिशा बदल नियम | न बदलणारी इंग्रजी अक्षरे (Invariable Letters) |
|---|---|---|---|
| आरशातील प्रतिमा (Mirror Image) | उभे प्रतल (Vertical Plane: MN) | डावी बाजू उजवीकडे, व उजवी बाजू डावीकडे होते. वरची व खालची बाजू बदलत नाही. | ११ अक्षरे: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y *(प्रमाणित ब्लॉक अक्षरे - Standard Block Letters नुसार; फॉन्टवर अवलंबून बदल संभवतो) |
| पाण्यातील प्रतिमा (Water Image) | क्षितिजसमांतर प्रतल (Horizontal: AB) | वरची बाजू खाली, व खालची बाजू वर होते. डावी व उजवी बाजू बदलत नाही. | ९ अक्षरे: B, C, D, E, H, I, K, O, X |
४ फासा / ठोकळा नियम (Rules of Cubes & Dice)
१. मानक फासा (Standard Dice):
ज्या फाशाच्या कोणत्याही दोन विरुद्ध पृष्ठांवरील अंकांची बेरीज नेहमी ७ असते, त्याला मानक फासा म्हणतात.
• २ च्या विरुद्ध = ५ (२ + ५ = ७)
• ३ च्या विरुद्ध = ४ (३ + ४ = ७)
टीप: मानक फाशात कोणत्याही दोन लगतच्या पृष्ठांची बेरीज कधीही ७ होत नाही!
२. सामान्य फासा (Ordinary Dice) सोडवण्याचे २ नियम:
नियम १ (१ अंक सामाईक असल्यास - Clockwise Rule): दोन्ही आकृत्यांमध्ये सामाईक अंकापासून घड्याळाच्या दिशेने फिरावे; समोरासमोरील येणारे अंक परस्परांच्या विरुद्ध असतात.
नियम २ (२ अंक सामाईक असल्यास - Two Common Faces): जेव्हा दोन फाशांमध्ये २ अंक सामाईक असतात, तेव्हा शिल्लक राहिलेला तिसरा अंक हा दुसऱ्या फाशातील शिल्लक तिसऱ्या अंकाचा थेट विरुद्ध पृष्ठभाग असतो!
५ सविस्तर सोडवलेली मार्गदर्शक उदाहरणे (Solved Examples)
एकाच फाशाच्या दोन स्थिती खालीलप्रमाणे दर्शविल्या आहेत (पृष्ठ रचना: वरचे पृष्ठ, समोरील पृष्ठ, उजवे पृष्ठ):
स्थिती १: वरचे पृष्ठ = २, समोरील = ४, उजवे = ५ (अंक २, ४, ५ दिसत आहेत).
स्थिती २: वरचे पृष्ठ = २, समोरील = ३, उजवे = ६ (अंक २, ३, ६ दिसत आहेत).
तर ५ या अंकाच्या विरुद्ध पृष्ठावर कोणता अंक असेल?
पायरी १: दोन्ही स्थितींमध्ये सामाईक अंक शोधा. सामाईक अंक = २.
पायरी २: सामाईक अंक २ पासून घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने (Top वरून समोरील व उजवे पृष्ठ) अंकांचा क्रम लिहू:
• स्थिती १: २ ➔ ४ ➔ ५
• स्थिती २: २ ➔ ३ ➔ ६
पायरी ३: समोरासमोरील जोड्या:
• ४ च्या विरुद्ध = ३
• ५ च्या विरुद्ध = ६
• २ च्या विरुद्ध शिल्लक अंक = १.
उत्तर: ५ च्या विरुद्ध पृष्ठावर ६ हा अंक असेल.
★ पोलीस भरती व सरळसेवा (TCS-IBPS) स्पेशल वन-लाइनर तथ्ये व वारंवार विचारलेले प्रश्न
| क्र. | संकल्पना / वारंवार विचारलेला प्रश्न | थेट अचूक उत्तर / सूत्र |
|---|---|---|
| १ | एका घनाला/ठोकळ्याला एकूण किती पृष्ठभाग, कडा व कोपरे असतात? | ६ पृष्ठभाग (Faces), १२ कडा (Edges) आणि ८ शिरोबिंदू/कोपरे (Vertices). |
| २ | मानक फाशावर (Standard Dice) ३ च्या विरुद्ध कोणता अंक असतो? | ४ (कारण ३ + ४ = ७). |
| ३ | मानक फाशावर २ च्या विरुद्ध कोणता अंक असतो? | ५ (कारण २ + ५ = ७). |
| ४ | मानक फाशावर १ च्या विरुद्ध कोणता अंक असतो? | ६ (कारण १ + ६ = ७). |
| ५ | इंग्रजी वर्णमालेतील किती कॅपिटल अक्षरे आरशात बदलत नाहीत? | ११ अक्षरे (A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y). |
| ६ | इंग्रजी वर्णमालेतील किती कॅपिटल अक्षरे पाण्यात बदलत नाहीत? | ९ अक्षरे (B, C, D, E, H, I, K, O, X). |
| ७ | आरसा व पाणी या दोन्हीत न बदलणारी सामाईक अक्षरे कोणती? | ४ अक्षरे (H, I, O, X). |
| ८ | आरशातील प्रतिमेत डावी बाजू कुठे दिसते? | उजव्या बाजूला (Lateral Inversion). |
| ९ | पाण्यातील प्रतिमेत वरची बाजू कुठे दिसते? | खालच्या बाजूला (Vertical Inversion). |
| १० | त्रिकोणात ३ उभ्या रेषा मारल्यास किती त्रिकोण तयार होतात? | १० त्रिकोण (१ + २ + ३ + ४ = १०). |
| ११ | चौरसात दोन्ही कर्ण व दोन मध्यरेषा जोडल्यास किती त्रिकोण? | १६ त्रिकोण (८ लहान कप्पे × २ = १६). |
| १२ | ३ × ३ चौरस ग्रीडमध्ये एकूण किती चौरस असतात? | १४ चौरस (१² + २² + ३² = १ + ४ + ९ = १४). |
| १३ | ४ × ४ चौरस ग्रीडमध्ये एकूण किती चौरस असतात? | ३० चौरस (१ + ४ + ९ + १६ = ३०). |
| १४ | उलगडलेल्या फाशात विरुद्ध बाजू कशा ओळखतात? | एका सरळ रेषेतील एकाआड एक (Alternate) पृष्ठभाग परस्परांचे विरुद्ध असतात. |
| १५ | एका मोठ्या घनाला लांबी, रुंदी आणि उंची या तीन परस्पर लंब दिशांत प्रत्येकी ३ समांतर काप दिल्यास लहान घन? | ६४ लहान घन [(३+१)³ = ४³ = ६४]. (तीन परस्पर लंब दिशांत काप दिल्याने ६४ समप्रमाण घन मिळतात; तिरपे काप दिल्यास समप्रमाण घन बनत नाहीत). |
| १६ | रंगवलेल्या मोठ्या घनाच्या शिरोबिंदूवर (कोपऱ्यावर) किती रंगीत पृष्ठे असतात? | ३ पृष्ठभाग रंगीत असतात (असे एकूण नेहमी ८ कोपरे असतात). |
? MPSC व MPSC / TCS-IBPS पॅटर्न सराव प्रश्न (Exam Pattern Model Questions) सविस्तर विश्लेषणासह
प्र. १. एका फाशाच्या दोन अवस्था खालीलप्रमाणे दर्शविल्या आहेत:
अवस्था १ वर पृष्ठभागांवर १, २, ३ हे अंक आहेत.
अवस्था २ वर पृष्ठभागांवर १, ३, ५ हे अंक आहेत.
तर २ या अंकाच्या विरुद्ध पृष्ठावर कोणता अंक असेल?
सविस्तर विश्लेषण:
नियम: जेव्हा दोन अवस्थांमध्ये दोन अंक सामाईक असतात (Two Common Faces Rule), तेव्हा उरलेले तिसरे अंक हे थेट एकमेकांच्या विरुद्ध असतात.
• अवस्था १ मध्ये: अंक १ आणि ३ आहेत.
• अवस्था २ मध्ये: अंक १ आणि ३ आहेत.
• म्हणून सामाईक १ आणि ३ सोडून उरलेले अंक: अवस्था १ मधील २ आणि अवस्था २ मधील ५ हे परस्परांच्या विरुद्ध असतील.
म्हणून अचूक उत्तर पर्याय (२) ५ आहे.
प्र. २. एका चौरसाचे दोन्ही कर्ण आणि दोन्ही मध्यरेषा परस्परांना छेदत असतील, तर त्या आकृतीमध्ये एकूण किती त्रिकोण तयार होतात?
सविस्तर विश्लेषण:
• मध्यबिंदू व कर्णांमुळे चौरसाचे एकूण ८ लहान त्रिकोणी कप्पे तयार होतात.
• शॉर्टकट सूत्र: कप्प्यांची संख्या × २ = ८ × २ = १६ त्रिकोण.
• पडताळा: १ कप्प्याचे ८ त्रिकोण + २ कप्पे एकत्र करून ४ त्रिकोण + ४ कप्पे एकत्र करून (मोठे कर्ण त्रिकोण) ४ त्रिकोण = ८ + ४ + ४ = १६ त्रिकोण.
म्हणून अचूक उत्तर पर्याय (३) १६ आहे.
प्र. ३. खालीलपैकी कोणता शब्द आरशात पाहिल्यावरही जशास तसाच (अपरिवर्तित) दिसेल?
सविस्तर विश्लेषण:
• शब्द आरशात जशास तसा दिसण्यासाठी दोन अटी पूर्ण व्हाव्या लागतात:
१. शब्दातील प्रत्येक अक्षर आरशात सममित (Symmetric) असले पाहिजे.
२. शब्द पुढे-मागे वाचताना समान (Palindrome) असला पाहिजे.
• NOON मधील 'N' उलट होतो (N चा आरशात बदल होतो).
• RADAR मधील 'R' आणि LEVEL मधील 'E' व 'L' आरशात उलट होतात.
• OTTO मध्ये O आणि T ही दोन्ही अक्षरे आरशात बदलत नाहीत, आणि शब्द Palindrome असल्याने उलट क्रमाने वाचला तरी 'OTTO' असाच राहतो.
म्हणून अचूक उत्तर पर्याय (२) OTTO आहे.
अशाब्दिक बुद्धिमत्ता व फासा (Dice) सराव चाचणी ०९
या घटकाचा अभ्यास पूर्ण झाला असल्यास लगेच चाचणी सोडून सराव करा.